Георгий Мелкадзе родился 4 апреля 1997 года в городе Москва. В возрасте 5 лет начал заниматься футболом в спортивной школе московского «Динамо». Его первый тренер - Юрий Алексеевич Ментюков. В 2008 году в команде сменился тренер, с которым у Георгия возникли разногласия, поэтому он перешёл в «Спартак» в команду 1997 года рождения.
На детских и юношеских турнирах стабильно играл в основном составе «Спартака», который выиграл первенство Москвы по футболу в 2014 году
После выпуска из академии в сезоне 2014-2015 играл как за молодёжный состав «Спартака», так и за «Спартак-2». Дебют за вторую команду красно-белых состоялся 23 сентября 2014 года в матче против «Знамени Труда». Также успел 2 раза выйти на замену в РФПЛ за основной состав «Спартака», дебютировав 17 мая 2015 года в матче 28-го тура против ЦСКА, выйдя на замену на 59-й минуте и успел запомниться своими активными и смелыми действиями.
Сезон 2015-2016 начал выступая за «Спартак-2» в Футбольной национальной лиге, занимая разные позиции в полузащите, чаще всего на левом фланге. Всего провёл 22 матча, в которых забил 7 мячей и отдал 4 голевые передачи, что позволило ему стать одним из трёх лучших бомбардиров команды и вторым по системе «гол+пас» среди игроков «Спартака-2».
С января 2016 года тренируется с основной командой «Спартака» и попадает в заявки команды на все матчи осенней части Российской футбольной премьер-лиги. В этих матчах Георгий 4 раза выходит на замену, не отметившись результативными действиями. Таким образом, зиму и весну 2016 года Мелкадзе проводит выступая сразу за 2 команды в структуре «Спартака». По этой причине в весенней части Футбольной национальной лиги за «Спартак-2» он участвует только в домашних матчах и проводя на поле не более 45 минут. Однако, это не помешало ему стать лучшим молодым футболистом Футбольной национальной лиги по итогам сезона.
В декабре 2015 года подписал новый контракт со «Спартаком». Соглашение будет действовать до 31 мая 2019 года.
В 2015 году Георгий стал серебряным призёром юношеского чемпионата Европы в Греции. На турнире он сыграл в матчах против команд Нидерландов, Германии, Греции и дважды Испании