Андрей Мельниченко родился 21 мая 1992 года в городе Красноярск. Пришел в лыжный спорт в четвертом классе. Первый наставник, тренер местной Специализированной детско-юношеской спортивной школы олимпийского резерва Виктор Бойченко, передал Андрею любовь к лыжам. Затем передал талантливого спортсмена тренеру Александру Фалееву.

Во взрослых соревнованиях международного уровня Андрей участвует с ноября 2010 года. Тогда же состоялся дебют лыжника на Кубке Восточной Европы. По результатам сезона 2010/2011 года Мельниченко включили в юниорский состав сборной России. В 2012 году стал мастером спорта по лыжным гонкам.

На зимней Универсиаде 2013 года лучшим результатом стало седьмое место в гонке на 10 километров. В ходе сезона 2013/2014 года четырежды попадал в десятку на Кубке Восточной Европы. Дважды завоевал золотую медаль на Кубке России в 2014 году: в эстафетной гонке и спринте свободным стилем.

В 2015 году принял участие в молодежном Чемпионате Мира, где занял 13 место в скиатлоне. В том же году на Чемпионате России года завоевал серебряную медаль в эстафете, в следующем году в гонке на 50 километров и в 2017 году на дистанции 70 километров в командном спринте, выигрывал бронзовые медали.

На Кубке Мира дебютировал в 2016 году. В сезоне 2016/2017 года выступал на соревнованиях «Тур де Ски», где стал 27 в общем зачете, на следующий сезон занял 19 место. Спортсмен принимал участие в Чемпионате Мира 2017 года, занял 28 место в гонке на 50 километров. Дважды становился золотым медалистом международных соревнований FIS 2017 года на дистанциях 10 и 15 километров.

Первая Олимпиада для лыжника началась 11 февраля 2018 года с 30 километрового скиатлона: 15 километров классическим ходом, затем 15 километров коньковым ходом. Андрей завершил гонку на 29 позиции с результатом 1:18:50.5. В спринте занял 49 место, гонке свободным стилем на 15 километров стал 14.

Мельниченко, по состоянию на январь 2018 года, живет в городе Красноярск. Тренируется под руководством В.В. Бойченко, А.С. Фалеева. Входит в состав сборной команды России. Выступает за Всероссийское физкультурно-спортивное общество «Динамо», Академию зимних видов спорта родного города и сборную города Красноярск.