Александр Мельников родился 1 февраля 1973 года в городе Москва. Начал заниматься на фортепиано в шесть лет, в семь лет дебютировал с концертом Баха в Большом филармоническом зале Минска с оркестром под управлением дирижера Ефимова.
Окончил с отличием Центральную музыкальную школу при Московской Государственной консерватории и Московскую государственную консерваторию в 1997 году по классу фортепиано у профессора Наумова. Стажировался в Мюнхенской Высшей школе музыки у профессора Элисо Вирсаладзе и в Международном фортепианном фонде у Шнабеля и Штайера, ставшим впоследствии его партнером.
Еще в школе Мельников стал лауреатом Международного Музыкального конкурса имени Роберта Шумана в Цвикау и ММК Королевы Елизаветы в городе Брюссель. Сотрудничает с Оркестром Концертгебау в Амстердаме, Гевандхаус в Лейпциге, Филадельфийским симфоническим оркестром, Роттердамским филармоническим оркестром, БиБиСи Филармоническим оркестром, NHK Симфони, РНО, с дирижерами Михаилом Плетневым, Теодором Куррентзисом, Шарлем Дютуа, Пааво Ярви, Юрием Башметом.
С 2013 года Мельников является Артистом резидентом в Музикгебау в городе Амстердам и в оркестре Тапиола синфониэтта в Финляндии. В 2016 году резидент в городе Брюссель. В сезоне 2013/2014 года участвовал в БиБиСи Промс с Варшавским филармоническим оркестром под управлением Антони Вита, а затем с концертами на открытии сезона 2014 года в Праге с чешским филармоническим оркестром под управлением Юрия Белохлавека. Солист Московской Государственной Филармонии.
За заслуги в профессиональной деятельности удостоен Почетного звания «Заслуженный артист Российской Федерации».