Леонид Мельников родился 9 декабря 1965 года в городе Кировск, Мурманская область. Вырос в семье многократного Чемпиона СССР, лыжника Василия Степановича Мельникова. Отец стал его первым тренером в горнолыжном спорте и начал с ним заниматься с 7 лет. В 13 лет Леонид стал мастером спорта, через год оказался в составе сборной по горнолыжному спорту.

В 1983 году Леонид Мельников в Италии на Первенстве Мира выиграл соревнования в комбинации и стал первым в истории советского горнолыжного спорта Чемпионом Мира среди юниоров в возрасте 18 лет. Получил на этом же Первенстве бронзовую медаль в слаломе.

В 1983 году выполнил норматив мастера спорта международного класса и завоевал две медали на Всемирной Универсиаде. В последующие годы являлся полноправным участником сборной на соревнованиях Кубка мира и Европы, участвовал в Чемпионатах Мира.

С 1984 года стал выступать за Центральный спортивный клуб Армии. Получил высшее образование в Московском областном государственном институте физической культуры и спорта, по специальности тренер-преподаватель.

Профессиональную карьеру Леонид Васильевич завершил в 1991 году и стал тренером. Работал ассистентом тренера мужской сборной страны по горнолыжному спорту В. Макеева. Тренировал команду перед Олимпийскими играми 1992 года в городе Альбервил, Франция.

В 1996 году стал старшим тренером женской сборной России по горнолыжному спорту, где выступали С. Гладышева, В. Зеленская, Т. Лебедева, О. Алиева, А. Попкова, С. Новикова, А. Ларионова и другие. 

В мае 2010 года занял должность Главного тренера сборной страны по горнолыжному спорту, возглавил одновременно спортивный Департамент Федерации горнолыжного спорта и сноуборда России. В мае 2014 года Леонид Мельников избран Президентом ФГССР.