Александр Меньков родился 7 декабря 1990, Минусинск, Красноярский край. Начинал занятия легкой атлетики как прыгун в высоту и даже занял призовое место на Первенстве страны среди сверстников в 2008 году, позднее перешел на прыжки в длину из-за невысокого роста. Всего через год после смены дисциплины Меньков стал Чемпионом Европы среди юниоров.

В 2011 году Меньков помог сборной России выиграть командный Чемпионат Европы, прыгнув на 8,20 метров. Через год занял третье место Чемпионата Мира в помещении. Дважды побеждал в престижной серии Бриллиантовой Лиги в 2012 и 2013 годах, став обладателем главного приза в 40 тысяч долларов и бриллианта весом 4 карата. 

На соревнованиях в Prefontaine Classic в мае 2013 года установил личный рекорд с результатом 8,39 метров. Ключевой победы в карьере добился двумя месяцами спустя на Московском Чемпионате Мира. Меньков прыгнул на 8,56 метров, дважды обновив рекорд России в финале соревнований и выиграв турнир, признан лучшим спортсменом года по версии Министерства спорта России. 

Меньков продолжил выступать в прыжках в высоту ради удовольствия. На Кубке Красноярского края в 2013 году взял высоту 2,20 метров.

В 2017 году, на Чемпионате Мира выступал как независимый атлет. Александр вышел в финал соревнований, заняв четвертое место.

Легкоатлет тренируется под руководством Мочалова Сергея Степановича и Мочаловой Елены Сергеевны. Выступает за ЦСКА. Рост спортсмена 178 сантиметров, вес 74 килограммов.

За большой вклад в развитие физической культуры и спорта, высокие спортивные достижения удостоен Почетного звания «Заслуженный мастер спорта Российской Федерации». Лауреат премии Министерства спорта России «Гордость России».