Алексей Меньшиков родился 11 марта 1984 года в городе Пермь. Начал заниматься фигурным катанием в раннем детстве. Первые крупные состязания состоялись в 2000 году совместно с Ренатой Араслановой. Тренировалась пара под руководством Л. Калининой.

В спортивном сезоне 2000/2001 года фигуристы сумели занять девятое место национального Чемпионата. Спустя два года поднялись уже на пятую ступень юношеского Первенства России. Затем пара распалась и Алексей Меньшиков стал выступать с Е. Ефаевой.

На национальном Чемпионате 2004 года дуэт Алексея Меньшикова стал шестым, спустя три года завоевал бронзовую медаль. Ввиду минимального различия в росте Лене и Алексею стали недостижимы некоторые весомые элементы, пара решила прекратить совместную работу. Фигурист принял решение уйти из любительского спорта.

Закончив карьеру, Алексей вновь вернулся к первоначальному наставнику, но уже в роли помощника. Несколько лет работал в городе Пермь, в спортивной школе «Орленок».

В 2011 году тренерский штаб спортивной школы, возглавляемый Калининой и Меньшиковым, переехал в столицу Республики Мордовия, город Саранск. Меньшиков занимается активной подготовкой подрастающего поколения к спортивным состязаниям. В ряду прославленных подопечных: В. Базарова и Ю. Ларионов, завоевавшие в 2012 году серебро на Чемпионате Европы.