Бесарион Месхи родился 10 августа 1959 года в селе Читацкари, Грузия. В 1976 году, юноша окончил среднюю школу. В период с 1977 по 1979 год, проходил службу в войсках Противовоздушной Обороны Советского Союза, на территории Волгоградской области.
Далее, в 1980 году поступил в Ростовский Институт Сельскохозяйственного Машиностроения, впоследствии переименованный в Донской Государственный Технический Университет. Начиная с 1982 года, перспективный студент совмещал учебу и работу в научно-исследовательском отделе родного учебного заведения. В 1985 году, Месхи успешно окончил вышеуказанный ВУЗ по специальности «Автоматизация сельскохозяйственного производства», с присвоением квалификации - «инженер-электромеханик». С 1990 по 2002 год, Бесарион занимал должность проректора по административно-хозяйственной части, а с 2002 года, занял пост проректор по административно-хозяйственной работе и капитальному строительству ДГТУ.
В 2007 году, научный деятель, уже являясь профессором, назначен на должность заведующего кафедрой «Безопасность жизнедеятельности и защита окружающей среды». В том же году, Бесарион Месхи избран ректором Донского Государственного Технического Университета. Под руководством ученого, ДГТУ занял место одного из опорных ВУЗов Ростовской области. В конце ноября 2015 года, ученый совет Ростовского Государственного Строительного Университета проголосовал за объединение с ДГТУ и за участие в конкурсе на создание опорного многопрофильного регионального университета. На основании результатов голосования, 12 января 2016 года, РГСУ официально вошел в состав ДГТУ и получил наименование - Академия строительства и архитектуры ДГТУ.
Продолжая научную и педагогическую деятельность, Бесарион Месхи переизбран ректором Донского Государственного Технического Университета 5 апреля 2017 года. Так же, ученый является активным общественным деятелем. Входит в состав большинства общественных организаций, ряд которых возглавляет. На протяжении всей научной и общественной деятельности, Бесарион Чахоевич неоднократно отмечен государственными наградами и знаками отличия. Является лауреатом различных премий. Автор многочисленных научных трудов.