Антон Мирюшкин родился 8 февраля 1996 года в городе Красноярск. Футболом начинал заниматься в школе ростовского СКА, рядом со стадионом которого жил с семьей. Первым тренером Митрюшкина был Константин Валентинович Бойко. Затем перешел в стан другого местного клуба, «Ростов».
Тренируясь в составе главной команды города получил приглашение сыграть за сборную Детской футбольной лиги. В одном из соревнований попал в поле зрения селекционеров столичного «Спартака». В итоге, в возрасте 14 лет, Митрюшкин оказался в академии клуба, где стал работать с тренером вратарей Юрием Дарвиным.
В начале 2013 года попал в дублирующий состав команды, а уже в конце марта дебютировал за «Спартак» в молодежном Первенстве России. Все 90 минут провел 30 марта в домашней игре со сверстниками из «Кубани», которую «красно-белые» выиграли с минимальным счетом. Уже в следующей игре в городе Ростов-на-Дону против своих бывших одноклубников вновь с первых минут защищал ворота своей команды. На 82-й минуте при счете 4:0 уступил место на поле Владиславу Терешкину, а его партнеры в самом конце встречи смогли забить пятый мяч.
Главный тренер Валерий Карпин 10 апреля вместо травмированного Сергея Песьякова пригласил на тренировку семнадцатилетнего футболиста. А уже на матч очередного тура Премьер-лиги против «Амкара» впервые попал в официальную заявку основного состава «Спартака». По возвращении с победного Чемпионата Европы продолжил тренировки с «основой», начавшей подготовку к заключительному матчу сезона с владикавказской «Аланией».
За основной состав «Спартака» дебютировал 8 марта 2014 в матче против «Терека», тем самым став самым молодым основным вратарем в истории клуба. Уже на 33 секунде пропустил гол, ставший единственным в матче. Участвовал в матче открытия стадиона «Открытие Арена» 5 сентября 2014 года. В этом матче вышел на замену.
За юношескую сборную России, составленную из игроков 1996 года рождения выступал с 2011 года, когда дебютировал за нее в товарищеском матче. В 2012 году в ее составе принимал участие в международном турнире «Монтегю» и Мемориале имени Виктора Банникова. На Мемориале сборная заняла второе место, в финале в серии пенальти уступив сборной Украины. Митрюшкин провел на этом турнире три игры и пропустил один мяч.
В сентября 2012 года сыграл в первом отборочном матче к юношескому чемпионату Европы 2013 года в Словакии со сверстниками из Чехии. В том матче пропустил 3 мяча. Однако в дальнейшем сборная России обыграла сборные Дании и Черногории и вышла в элитный отборочный раунд. Здесь сборная под руководством Дмитрия Хомухи обыграла сборные Словении и Англии с одинаковым счетом 2:1 и уступила португальцам, но при этом смогла завоевать путевку в финальную часть турнира.
В финальном турнире, проходившем в Словакии, в пяти играх Митрюшкин пропустил лишь один мяч в основное время в матче с итальянцами. Полуфинальная встреча со сборной Швеции завершилась нулевой ничьей, а судьба поединка и путевки в финал решалась в серии послематчевых пенальти, которая завершилась со счетом 10:9 в пользу россиян. Митрюшкин отразил один мяч от Мирзы Халваджича, а затем в свою очередь реализовал свой удар.
Финальная встреча с Италией также завершилась «сухой» ничьей, а в серии пенальти Митрюшкин отразил три удара соперника, в результате чего российская сборная одержала верх 5:4 и стала победителем юношеского чемпионата Европы. По окончании турнира в УЕФА отметили игру юного россиянина, назвав Митрюшкина лучшим игроком первенства.
В 2015 году стал серебряным призером юношеского Чемпионата Европы в Греции. На турнире сыграл в матчах против команд Нидерландов, Германии, Греции и дважды Испании.
Контракт со швейцарским клубом «Сьон» подписал 1 февраля 2016 года. В матче против «Лугано» 23 апреля дебютировал в швейцарской Суперлиге. В следующем туре в игре с лидером Чемпионата «Базелем» стал лучшим игроком матча по версии болельщиков. В матче 34 тура отдал голевую передачу и отразил пенальти.