Андрей Монахов родился 23 мая 1976 года в городе Бокситогорск, Ленинградской области. Признан федерацией футзала России лучшим игроком двадцатипятилетия.
В 1993 начал свои выступление в футзальных соревнованиях за клуб «Фиеста-Форум» из города Кингисепп, Ленинградская область, в составе которого завоевал бронзовые и серебряные медали чемпионата страны.
В 1996 году перешёл в состав клуба футзального клуба «Полигран», в составе которого в 1998 году впервые стал чемпионом России. В том же году в составе сборной победил на чемпионате Европы. С 2000 года перешёл в состав клуба «Алмаз-Алроса». В сезоне 2001/2002 победил в чемпионате России по футзалу.
С сезона 2003 года Монахов переходит в мини-футбол, где выступает за клуб «Арбат»в суперлиге чемпионата Россиии по мини-футболу. В 2007 году возвращается в футзальные соревнования и выступает в составе ярославского «Подводника», как в матчах российского чемпионата, так и на европейской арене.
С 2010 в течении двух сезонов выступал за «Таганский ряд» из Екатеринбурга. С 2012 перешёл в стан московского «Спартака», за который выступал два сезона. В сезоне 2015/16 клуб из-за финансовой нестабильности отказался от участия в чемпионате России, и Монахов перешёл в клуб «Ладога» из поселка Сосново, Ленинградская область.
Со следующего года Монахов становится играющим тренером в футзальном клубе «Волна» Санкт-Петербург, с которым побеждает в розыгрыше Кубка УЕФС. По окончании сезона был приглашен в сборную России для участие в чемпионате Европы по футзалу, который в 2016 году принимал подмосковный ЕгорьевскСборная России сумела завоевать золотые медали, которые стали в карьере Андрея Монахова пятым «золотом» чемпионатов Европы.