Николай Морозов родился 6 августа 1956 года в городе Куйбышев, Самарской области. Появился на свет в семье инженеров. С детства увлекся импровизацией, учился игре на аккордеоне у бывшей балерины Ирины Георгиевны Лунц, самостоятельно освоил гитару, баян, блок-флейту и фортепьяно.
В 1982 году окончил Сызранское музыкальное училище по специальности теория музыки. В том же году поступил в Уральскую государственную консерваторию имени М.П.Мусоргского, которую окончил по классу композиции профессора Николая Михайловича Пузея в 1987 году.
С 1987 по 1989 год - проходил в Уральской консерватории ассисентуру-стажировку по классу композиции.
С 1987 по 1993 год преподавал композицию и инструментовку в Уральской государственной консерватории, а также был заведующим музыкальной частью Свердловского театра кукол. Член Союза композиторов с 1989 года. Будучи в Свердловске, Николай Морозов вел авторскую программу на телевидении «Музыка и мы».
В 1993 году Н.А.Морозов переехал в Санкт-Петербург, преподавал в Академии театрального искусства, Санкт-Петербургской консерватории имени Н.А.Римского-Корсакова, возглавлял отделение музыкального воспитания в Школе русской драмы имени И.О.Горбачева.
С 1998 года по 2013 год возглавлял музыкальную часть Большого Драматического театра имени Г.А.Товстоногова.
С 2013 года - заведующий музыкальной частью Государственного драматического театра на Литейном.
Морозов широко известен как театральный композитор. Ему принадлежит музыка к спектаклям театров Москвы, Вильнюса, Санкт-Петербурга, Екатеринбурга, Красноярска, Челябинска, Ярославля, Петрозаводска, Абакана, Тобольска и др. Спектакли с музыкой Н.А.Морозова гастролировали в театрах Италии, Македонии, Германии, Швейцарии, Чехии, Японии, Румынии, Испании, Литвы, Эстонии, на Крите и др.
Николай Морозов сотрудничает с швейцарским ансамблем Дмитрия Ашкенази и Жана-Поля Греба. Камерная музыка Н.А.Морозова исполняется в России и за рубежом.
Морозов участник, организатор и лауреат ряда композиторских, театральных и кинофестивалей.
В июне 2015 года принимал участие в VI Международном фестивале «AKVA-LOO TEMP+» в качестве члена жюри вокальной и театральной секции фестиваля, а также провел ряд мастер-классов на различные темы с преподавателями и участниками мероприятия.