Президент Федерации плавания Краснодарского края. Генеральный директор футбольного клуба «Динамо» Москва (2016-2018). Генеральный директор футбольного клуба «Кубань» (2014-2015). Директор Заполярного филиала горно-металлургической компании «Норильский никель» (2010-2013). Первый заместитель губернатора Краснодарского края (2008-2009).
С 1991 года Муравьев работал в различных коммерческих структурах в городе Краснодар. С мая 1999 года занимал должность генерального директора государственного унитарного предприятия Краснодарского края «Кубаньлес».
В 2000 году Евгений Муравьев избирался депутатом Краснодарской городской думы. Являлся председателем Комитета Думы по финансам, бюджету, банкам, налогам, инвестиционной политике. В 2001 году стал председателем Комитета природных ресурсов и охраны окружающей среды Краснодарского края.
С августа 2002 года Муравьев являлся генеральным директором департамента экономического развития, инвестиций и внешних связей Краснодарского края.
В августе 2003 года Евгений Иванович занял пост заместителя главы администрации Краснодарского края по вопросам санаторно-курортной и туристской отрасли. Также являлся генеральным директором департамента по развитию Азово-Черноморского побережья, санаторно-курортному комплексу и туризму Администрации Краснодарского края.
В декабре этого же года Евгений Иванович Муравьев назначен вице-губернатором Краснодарского края по вопросам образования, культуры, здравоохранения, социальной защиты населения, курортной сферы и туризма. С января 2005 года занимал пост вице-губернатора по вопросам экономического развития. В июне 2008 года стал первым заместителем губернатора Краснодарского края.
Муравьев в мае 2009 года возглавил Кольскую горно-металлургическую компанию. В январе 2010 года назначен на должность директора Заполярного филиала горно-металлургической компании «Норильский никель».
В ноябре 2013 года Евгений Муравьев стал президентом строительной корпорации «Девелопмент-Юг».
Евгений Иванович с августа 2014 по июль 2015 года возглавлял футбольный клуб «Кубань». В период с сентября 2016 по март 2018 года занимал пост генерального директора московского футбольного клуба «Динамо».
Впоследствии Евгений Иванович Муравьев стал президентом Федерации плавания Краснодарского края.