Александр Неумывакин родился 1 мая 1940 года в городе Лиски Воронежской области. После окончания средней школы с 1958 по 1959 год учился в воронежском техучилище. С 1959 по 1961 год трудился по специальности на шинном заводе.
В 1961 году призван на службу в Вооруженные Силы СССР.В декабре 1962 года поступил, а в 1963 закончил танковое училище в городе Ульяновск. Там же, в училище, в должностях комвзвода и комроты курсантов проходил дальнейшую службу вплоть до 1971 года.
Во время прохождения службы в 1974 получил 1 группу инвалидности по зрению и был комиссован из армии в звании капитана.
С апреля 1974 года по апрель 1975 года находился на пенсии. В это время вступил в ряды Всероссийского общества слепых.
В апреле 1975 года был избран председателем Ульяновской городской первичной организации ВОС, на V пленуме Ульяновской областной организации ВОС избран членом президиума, председателем Ульяновского областного правления ВОС.
В 1981 году председатель Центральной ревизионной комиссии ВОС. С 1982 по 1984 - член пленума Ульяновского обкома профсоюза рабочих местной промышленности и ЖКХ.
С 1981 года по 1986 год учится по специальности правоведение в Московский Всесоюзный юридический заочный институт. В год его окончания, 2 сентября, возглавил Всероссийское общество слепых.
С 1986 года Неумывакин - вице-президент Европейского союза слепых, член Исполкома Всемирного союза слепых, член Международного конгресса военноослепших и куратор Комитета по социальным правам Европейского союза слепых.
С 1989 по 1991 годы - народный депутат СССР, член Верховного Совета СССР, председатель подкомитета по делам инвалидов.
С 1996 по 1998 годы Александр Яковлевич является президентом Паралимпийского комитета России, где приложил немало усилий, чтобы достойно представить РФ на паралимпийских играх 1998 года, где российские спортсмены 31 раз поднимались на пьедестал почета.