Александр Никишин родился 8 марта 1958 года в селе Илек, Оренбургской области. Вскоре семья переехала в город Оренбург, где и окончил среднюю школу. В 1979 году Никишин Александр окончил Саратовское высшее военное командное училище Внутренних войск МВД СССР. Служил в городе Москва, в Отдельной мотострелковой дивизии особого назначения Внутренних войск РФ, имени Феликса Эдмундовича Дзержинского, на должности командира взвода, по сопровождению особо важных грузов. С 1981 года назначен командиром учебного взвода. В 1986 года назначен командиром роты, заместителем командира батальона.

В 1992 году Александр Никишин получил дополнительное образование, успешно окончив Военную академию имени Фрунзе. По ее окончании в 1992 году направлен в отряд специального назначения «Витязь» Внутренних войск МВД России.

В апреле 1994 года назначен командиром отряда. Участвовал в боевых действиях почти во всех горячих точках страны: Абхазия, Карачаево-Черкесия, осетино-ингушский конфликт, октябрьские события 1993 года в городе Москва. С сентября 1994 года, Никишин Александр с частью отряда непрерывно находился в городе Моздок. Является участником первой чеченской войны. Принимал непосредственное участие в боевых действиях с декабря 1994 года по декабрь 1995 года.

В начале января 1996 года Александр Николаевич, во главе большой группы личного состава отряда «Витязь» был вызван из города Москва и переброшен в район села Первомайское, Республики Дагестан, где была заблокирована банда Салмана Радуева после неудачного бандитского налета на город Кизляр. В ходе штурма в занятое боевиками село прорвалось несколько штурмовых групп отряда «Витязь», одну из которых возглавлял лично командир. Было уничтожено боевое охранение противника, спасено и выведено из села несколько десятков заложников из числа мирных жителей, захвачены 4 дезертира из российских войск, с оружием в руках воевавшие на стороне «дудаевцев». Командование было обеспечено разведданными о численности и обороне противника, бандитам нанесены значительные потери в живой силе.

Указом Президента Российской Федерации от 12 мая 1996 года за мужество и героизм, проявленные при выполнении специального задания полковнику Никишину Александру Николаевичу присвоено звание Героя Российской Федерации.

Имеет государственные награды и знаки отличия.

Живет в городе Москва.