Александр Носатов родился 27 марта 1963 года в городе Севастополь. В 1985 году окончил Черноморское высшее военно-морское училище имени Павла Степановича Нахимова. Офицерскую службу начал в звании лейтенанта на Тихоокеанском флоте, инженером лаборатории цеха технического обслуживания береговой базы.

В период с 1986 по 1989 год, Носатов занимал должность командира зенитно-ракетной батареи эскадренного миноносца «Стойкий». Далее, в 1989 году, являлся командиром зенитного дивизиона ракетно-артиллерийской боевой части эскадренного миноносца «Безбоязненный». В 1991 году назначен на должность помощника флагманского специалиста по ракетному оружию 35-й дивизии ракетных кораблей, а с 1993 года служил на должности командира ракетно-артиллерийской боевой части эскадренного миноносца «Безбоязненный».

С 1994 по 1997 год, Александр Носатов занимал должность флагманского специалиста по ракетному оружию 36-й дивизии ракетных кораблей, а с 1997 по 1998 год замещал должность старшего помощника командира гвардейского ракетного крейсера «Варяг».

В 2000 году, Александр Михайлович получил дополнительное образование, успешно окончив Военно-морскую академию имени Адмирала Флота Советского Союза Николая Герасимовича Кузнецова и был назначен командиром эскадренного миноносца «Быстрый». Затем, с 2002 по 2007 год, служил начальником штаба и командиром 36-й дивизии надводных кораблей Тихоокеанского флота.

 В 2006 году указом Президента РФ присвоено воинское звание «контр-адмирал». С 2009 года, после окончания Военной академии Генерального штаба Вооружённых Сил РФ, Носатов назначен командиром Балтийской военно-морской базы Балтийского флота.

Указом Президента РФ от 27 января 2012 года, Носатов Александр Михайлович назначен заместителем командующего Черноморским флотом, а спустя год назначен начальником штаба - первым заместителем командующего Черноморским флотом.

В мае 2014 года, удостоин воинского звания «Вице-адмирал». С мая по июнь 2016 года являлся начальником Военно-морской академии имени Адмирала Николая Герасимовича Кузнецова.

После увольнения командующего Балтийским флотом вице-адмирала Виктора Петровича Кравчука, за серьезные недостатки в работе, вице-адмирал Александр Носатов, 30 июня 2016 года, назначен временно исполняющим обязанности командующего Балтийским флотом.

Указом Президента РФ от 17 сентября 2016 года вице-адмирал Носатов Александр Михайлович назначен на должность командующего Балтийским флотом, а 18 октября 2016 года ему вручен штандарт командующего Балтийским флотом РФ.