Александр Носов родился 14 мая 1971 года в селе Вязовка Киквидзенского  района Волгоградской области. В 1993 году окончил Волгоградский сельскохозяйственный институт по специальности  «бухгалтерский учет, контроль и анализ хозяйственной деятельности в сельском хозяйстве».

В 1993 году Носов Александр был назначен главным экономистом смешанного садоводческого товарищества «Еланское». В  1997 году стал председателем Смешанного садоводческого товарищества  «Еланское». С 2001 года по 2005 год являлся заместителем Главы Администрации Еланского района по вопросам экономики, финансов и социальной сферы. После был дважды избран главой Еланского муниципального района Волгоградской области.

С 2014 года по 2016 год Александр Алексеевич глава Администрации Еланского  муниципального района Волгоградской области, председатель Правления Ассоциации «Совет муниципальных образований Волгоградской области». Член Президиума Регионального политического совета Волгоградского регионального отделения Всероссийской политической партии «Единая Россия», член Местного политического совета Еланского местного отделения Всероссийской политической партии «Единая Россия» Волгоградского регионального отделения Всероссийской политической партии «Единая Россия».  

На выборах 18 сентября 2016 года Носов Александр Алексеевич был избран Депутатом Государственной Думы VII созыва в составе федерального списка кандидатов, выдвинутого Всероссийской политической партией «Единая Россия». Член фракции «Единая Россия». Член комитета ГД по бюджету и налогам. Дата начала полномочий - 18 сентября 2016 года.

В период с 2016 по 2019 год, в течение исполнения полномочий депутата Государственной Думы VII созыва, Александр Алексеевич выступил соавтором 59 законодательных инициатив и поправок к проектам федеральных законов.