Одейя Раш родилась 12 мая 1997 года в городе Хайфа, Израиль. В переводе на русский ее имя означает «Благодарю Бога». У Одейи шестеро братьев, причем две пары из них - близнецы. В возрасте девяти лет девочка вместе с родителями переехала в штат Алабама, США, где ее отец начал работать в местном отделении государственной службы безопасности.
В Бирмингеме будущая актриса посещала школу «NE Miles Jewish Day School». Впоследствии Одейя и ее близкие перебрались в Нью-Джерси, где она обучалась в государственной школе, а в 2013 году - в город Лос-Анджелес, штат Калифорния.
Еще в детстве Раш начала свою модельную карьеру, в подростковом возрасте ее заметили американские агентства фэшн-индустрии, и она стала появляться в крупных рекламных кампаниях таких брендов, как «Gap», «Polo Ralph Lauren», «Tommy Hilfiger», «Guess» и других.
Одейя дебютировала в кинематографе в 13-летнем возрасте, появившись в эпизоде двенадцатого сезона телесериала «Закон и порядок. Специальный корпус» в 2010 году, после чего сыграла в проекте «Умерь свой энтузиазм» в 2011 году. В 2012 году Одейя исполнила роль Джони Джером в фантазийно-комедийной драме Питера Хеджеса «Странная жизнь Тимоти Грина» с Джоэлом Эдгертоном и Дженнифер Гарнер.
В 2014 году Одейя предстала в облике Фионы в приключенческом фэнтези-фильме австралийского режиссера Филлипа Нойса «Посвященный», снятом по одноименной книге американской писательницы Лоис Лоури. Вместе с Раш в главных ролях снялись Брентон Туэйтес, Мерил Стрип, Джефф Бриджес, Александр Скарсгард, Тэйлор Свифт, Кэти Холмс и другие.
В том же 2014 году Одейя Раш была названа журналом «InStyle», наравне с другой израильской актрисой - Галь Гадот, одной из двух новых ведущих леди Голливуда. В октябре 2015 году состоялась премьера комедийного фильма режиссера Роба Леттермана «Ужастики» - триллер о подростках, случайно высвободивших страшных и опасных монстров.
В 2016 году Раш, побывав впервые в режиссерском кресле, создала собственный короткометражный фильм «Спасибо», сценарий к которому тоже написала сама. Она же выступила в роли продюсера ленты.
Тогда же Одейя получила главную роль в остросюжетном экшн-триллере Джонатана Мостоу «Время псов» со звездой «Аватара» Сэмом Уортингтоном, сыгравшим киллера. Релиз фильма назначен на 2017 год.