Родился 10 ноября 1970 года в городе Москва. В детстве увлекался борьбой и плаванием. Зимой бегал на лыжах. В семь лет отец отвел Сергея в футбольную школу при московском клубе «Динамо». Бабушка Сергея работала бухгалтером в этой школе и домой с тренировок они возвращались вместе. После окончания школы «Динамо» Овчинников попал в состав команды московского «Динамо», под руководство Николая Гонтаря, кумира детства. Новый член команды, 12-летний Сережа, был невысокого роста, полноват и медлителен. Но менять специализацию было поздно, и после трех лет упорных тренировок стал номером один в команде среди вратарей.

     В 1990 году отыграв сезон в сухумском «Динамо», получил приглашение от московского «Локомотива». Юрий Семин долго присматривался к Овчинникову, когда он был еще в составе команды Сухуми. Но матч между «Динамо» и «Локомотивом», в котором вратарь сухумской команды отразил пенальти и повторный удар при добивании, окончательно убедил Семина в таланте молодого вратаря. 

Дебют в воротах «Локомотива» состоялся в  1991 году 29 марта в матче против запорожской команды «Металлург», в 4-ом туре высшей лиги Чемпионата СССР. Дебют был удачным, ни одной пропущенной атаки. В дебютном сезоне Овчинников участвовал в 18 играх и пропустил 25 голов. В 1992 году Овчинников стал фаворитом «Локомотива» среди вратарей. 

В Чемпионате России 1993 года Овчинников в 14 матчах не пропустил ни одного гола. В 1995 году Овчинников в составе московского «Локомотива» стал серебряным призером Чемпионата России. В сезоне было всего 22 пропущенных мяча в 27 играх. На Чемпионате России 1996 года железнодорожники заняли 6-е место, но в мае «Локомотив» выиграл Кубок России. 

В декабре 1996 года администрацией «Локомотива» было официально заявлено, что Сергей Овчинников с 31 июля станет игроком португальского клуба «Бенфика». В «Бенфике» Овчинников вошел в основной состав команды, став вторым вратарем. В сезоне 1998/99 Овчинников стал чаще появляться в воротах команды. Двенадцать выигранных матчей подряд и одно поражение команде Кубы. Последнее поражение стало причиной возвращения Сергея на скамейку запасных. Всего в составе португальской «Бенфики» Сергей Овчинников провел 20 игр. 

За 2,5 миллиона долларов Овчинникова уступили команде «Алверка». В «Алверке» Овчинников играл стабильно, часто появляясь в воротах команды. Получил травмы колена и мениска, которые стали основной причинной пропущенных мячей. Партнером Овчинникова был Василий Кульков. По результатам сезона стал лучшим вратарем чемпионата страны. 

Овчинников подписал четырёхлетний контракт 22 мая 200 года с португальским «Порту». В команде стал основным вратарем, по причине травмы Витория Байя. С задачей справился блестяще, 33 игры и 25 пропущенных мяча сделали его, в составе команды, серебреным призером. Позже завоевал «Суперкубок Португалии». В сезоне 2001/02 провел 9 игр в основном составе. Остальное время отсутствовал по причине травмы. Всего в сезоне пропустил 7 мячей. 

С 2002 года в московском «Локомотиве». В составе локо выиграл Чемпионат России, а сам Овчинников установил рекорд сезона - 667 минут без голов. В сезоне пропустил 14 мячей в 31 матче.

По приглашению Юрия Семина, бывшего тренера «Локомотива» 1 декабря 2005 года перешёл в московский клуб «Динамо». В сезоне 2006 стал капитаном команды, в составе которой завершил свою карьеру вратаря.

По результатам сезона 1991 года получил приглашение в резервную олимпийскую сборную СССР и в официальных матчах не участвовал. 17 февраля 1993 года Сергей Овчинников дебютировал в воротах национальной сборной. На Чемпионат Мира 1994 года, проходивший в США, Овчинников не поехал, хотя и был утверждён в списке 55 кандидатов. До 2000 года в сборной оставался на скамейке запасных, после чего у Овчинникова состоялся разговор с тренерами сборной, по результатам которого больше Сергей в сборную, при Романцеве, не призывался. Вернулся в играющий состав, только после отставки Романцева. Единственный раз выходил на поле в статусе капитана сборной, 13 февраля в матче против сборной Румынии в 2003 году. В течение года Овчинников отстоял в воротах в 8 матчах за сборную и пропустил 12 мячей. 

Закончив карьеру вратаря, Сергей Иванович занялся тренерской деятельностью. В 2007 году окончил Государственный Университет Управления по специальности «Менеджмент в игровых видах спорта». С 2006 по 2007 года - старший тренер вратарей в московском «Локомотиве». В настоящее время - Ассистент главного тренера клуба киевского «Динамо».