Депутат Государственной Думы VII созыва. Член фракции Всероссийской политической партии «Единая Россия». Член комитета Государственной Думы Федерального Собрания Российской Федерации по природным ресурсам, собственности и земельным отношениям.
После училища работал по специальности, став капитаном речного судна. Затем занимался предпринимательством, взяв в аренду теплоход. В 1993 году перешел на Котласский лесопильно-деревообрабатывающий комбинат, где работал сначала мастером, затем начальником цеха.
В 1995 году на предприятии началась процедура банкротства, однако Андрей Палкин организовал работу лесозаготовительных бригад, что помогло вновь запустить производство. В том же году назначен главным инженером предприятия. В 1998 году совет акционеров избрал его генеральным директором компании. Этот пост занимал около полугода.
Андрей Васильевич с 1998 года основал около семнадцати предприятий в лесной, транспортной, строительной и других отраслях: общества с ограниченной ответственностью «Домострой-Сервис», ООО «Союз», Котласский завод силикатного кирпича. Начиная с 2002 года его строительными компаниями возведено около сорока жилых домов в Архангельске и области.
В декабре 2004 года Палкин избран в Архангельское областное собрание депутатов IV созыва от регионального отделения партии «Единая Россия» по округу №14. Через пять лет принимал участие в выборах главы города Котлас как самовыдвиженец, заняв второе место и набрав 35,78% голосов. Победу одержал Сергей Мелентьев, действующий глава администрации.
Вновь избран в Архангельское областное собрание депутатов VI созыва 8 сентября 2013 года от регионального отделения политической партии «Единой России» по округу №14. Занимал пост заместителя председателя комитета по жилищной политике и коммунальному хозяйству. Депутатские полномочия исполнял на непостоянной основе.
В мае 2016 года Андрей Палкин участвовал в предварительном внутрипартийном голосовании (праймериз) «Единой России» по отбору кандидатов в депутаты Государственной Думы Российской Федерации от Архангельской области. Занял первое место по итогам голосования в Котласском одномандатном округе, набрав 37,36% голосов избирателей.
По итогам выборов в Государственную Думу России VII созыва 18 сентября 2016 Андрей Васильевич Палкин избран депутатом от «Единой России» по Котласскому одномандатному избирательному округу №73 (Архангельская область). Получил 43,25% голосов. Его ближайший соперник от «Справедливой России» Ирина Чиркова набрала 22,84%.
В нижней палате парламента Андрей Палкин вошел в состав партийной фракции, а также является членом комитета по природным ресурсам, собственности и земельным отношениям. Дата начала полномочий: 18 сентября 2016 года.
Жена по специальности экономист.
Сын - Михаил (род. 1986), предприниматель.
Сын - Павел (род. 1992), предприниматель.