Алексей Паршков родился в 1947 году в городе Кропоткин, Краснодарский край. В 1971 году окончил Краснодарское художественное училище. Алексей Андреевич получил дополнительное образование, окончив в 1971 году Московский государственный художественный институт им. В.И. Сурикова по специальности «графика». После учебы в Москве вернулся на Кубань. Алексей Паршков начал выставочную деятельность в 1976 году.
С 1982 является Членом Союза художников России. В 2011 году награжден золотой медалью Российской Академии художеств за вклад в развитие искусства южного региона страны, ранее был отмечен серебряной медалью академии. Стипендиатом Академии художеств СССР в области графики и заслуженным художником России.
Художник активно участвует в выставках в России и за рубежом. Его работы хранятся в Третьяковской галерее, музеях Кубани (Краснодарском краевом художественном музее им. Ф. А. Коваленко, Краснодарском краевом выставочном зале изобразительных искусств и др.), в коллекции Министерства культуры РФ, а также в частных собраниях коллекционеров из России, Германии, Австрии, Голландии, Франции, Канады, США, Чехии, Сербии и Кипра.
Несколько лет занимался преподавательской деятельностью.
Работает в техниках живописи и графики. Пишет жанровые картины, натюрморты, пейзажи, портреты, условные и абстрактные композиции. Принадлежит к числу основателей южнороссийской школы живописи. Живет и работает в станице Старокорсунской Краснодарского края. Это место стало для него главным источником вдохновения, темой его творчества.
Одним из любимых жанров художника является натюрморт. В его творческом наследии много лирических женских портретов. Он создал своеобразную иконографию образов - кубанских «мадонн», наделив их нежными именами: Катенька, Маняша, Курочка, Русалочка, Царевна.
Живёт и работает в станице Старокорсунской Краснодарского края.