Константин Пекшенс родился 8 августа 1859 года в городе Салисбург, Лифляндская губерния, Российская империя. Рос в зажиточной крестьянской семье. Вместе с родителями в 1869 году переехал на постоянное место жительства в Ригу.
Окончил частную гимназию и Рижское политехническое училище (1885). Был членом латышской студенческой корпорации Selonia. Второй, после Яниса-Фридриха Бауманиса, латышский архитектор, получивший высшее профессиональное образование.
Работал в архитектурном бюро Яниса Бауманиса (1885), с 1886 года занимался самостоятельной практикой.
Основная стилистика работ Константина Пекшенса - эклектика и модерн, включая такие его формы, как национальный романтизм и, позднее, вертикализм. Отличался новаторством, был одним из первых рижских архитекторов, строивших дома в шесть этажей.
В середине 1890-х ввёл в практику городской застройки Риги дома с угловыми башнями, чем оптимизировал архитектурно-художественное решение пространства перекрёстков. Использовал орнаментальный декор под оконными проёмами.
В своём позднем творчестве отошёл от излишней декоративности, уделял большее внимание объёмным элементам - эркерам, балконам, фронтонам.
В проектном бюро Пекшена работали молодые архитекторы, ставшие в дальнейшем признанными мастерами: Эйжен Лаубе, Александр Ванагс, Август Малвес, Артур Мёдлингер, Эрнест Поле.
Занимался общественной деятельностью. Был учредителем и владельцем фирмы, занимавшейся оборудованием систем центрального отопления.
Умер 23 июня 1928 года в Германии, в баварском Киссинге, куда выезжал лечиться. Похоронен в Риге, на Лесном кладбище.
Константин Пекшенс - автор около 250 многоэтажных жилых и общественных зданий. По его проектам построены церкви в Митаве и Аахофе, дома волостных управлений в Доле и Нойермюлене.
Двоюродная сестра Мария Пекшена - первая латышская женщина-драматург.