Борис Пискунов родился 11 мая 1921 года в городе Екатеринбург, Свердловская область. Учился в школах № 3 и № 11 Свердловска. Окончил 6 классов. Работал на заводе имени Воеводина, монтёром на городской телефонной станции и связистом 1-й городской пожарной команды. Член ВЛКСМ с 1938 года.
В Красную Армию призван в августе 1940 года. Служил в пограничных войсках Народного комиссариата внутренних дел СССР на Дальнем Востоке. На фронте в Великую Отечественную войну с февраля 1943 года. Участвовал в боях под Орлом, Севском, Новгород-Северским, Лоевым, Речицей.
Телефонист роты связи 43-го стрелкового полка комсомолец красноармеец Борис Пискунов под ураганным огнём противника в составе передового отряда 15 октября 1943 года переправился через реку Днепр в районе посёлка городского типа Лоев Лоевского района Гомельской области Белоруссии и, проложив через реку кабельную линию, установил связь передового отряда с главными силами 43-го стрелкового полка.
При обрыве телефонной связи под вражеским обстрелом красноармеец Пискунов нашёл место обрыва и восстановил связь, и не обращая внимания на тяжелое ранение осколком снаряда, он продолжал нести боевое дежурство у аппарата.
В течение нескольких суток отважный боец-телефонист бессменно обеспечивал связь десантников со штабом полка.
Указом Президиума Верховного Совета СССР от 30 октября 1943 года за образцовое выполнение боевых заданий командования на фронте борьбы с немецко-фашистскими захватчиками и проявленные при этом мужество и героизм красноармейцу Пискунову Борису Андреевичу присвоено звание Героя Советского Союза с вручением ордена Ленина и медали «Золотая Звезда».
В 1945 году Пискунов окончил курсы усовершенствования офицерского состава, в 1946 году – Иркутское военное училище связи. Проходил службу в Московском, Приволжском, Дальневосточном, Сибирском военных округах, затем в течение трех лет – ДВВО, на острове Кунашир. С 1960 года майор Пискунов уволен в запас.
Жил в Иркутске. Пискунов работал в Кировском районном отделе внутренних дел Иркутска, затем военрук в музыкальном училище.
Награждён орденом Ленина, орденами Отечественной войны 1-й степени, Красной Звезды и медалями.
Скончался 21 июня 2001 года. Похоронен в Иркутске на Александровском кладбище.