Алексей Пивоваров родился 12 июня 1974 года в городе Москва. В 1981-1991 годах учился в московской школе № 20. В 1988-1991 годах внештатно работал корреспондентом и ведущим программы «Пионерская зорька» в детской редакции Всесоюзного радио. В 1991 - 1993 годы - ведущий, корреспондент на радиостанции «Максимум».
В 1997 году окончил вечернее отделение факультета журналистики МГУ имени Михаила Васильевича Ломоносова.
Следующие 20 лет профессиональная деятельность Пивоварова была связана с телекомпанией НТВ. В 1993 - 2004 годы - корреспондент в программе Леонида Парфёнова «Намедни. Неполитические новости» на НТВ.
С 1996 по 2003 год - корреспондент службы информации НТВ. В дни теракта на Дубровке вёл несколько экстренных выпусков программы «Сегодня».
В апреле 2001 года, во время конфликта между группой Владимира Гусинского «Медиа-Мост» и «Газпром-Медиа», связанного с переходом телекомпании под контроль государства, Пивоваров покинул НТВ в знак протеста против позиции, занятой в этом конфликте большинством журналистов, руководством компании и её генеральным директором Евгением Киселёвым. В ночь перехода НТВ под контроль «Газпрома» и после вынужденного ухода команды «старого НТВ», вернулся на телеканал, тем самым согласившись работать вместе с Борисом Йорданом и новой администрацией.
С февраля 2003 по декабрь 2004 года - ведущий программы «Страна и мир» на том же телеканале в паре с Асет Вацуевой. Покинул программу в декабре 2004 года, после того, как в её эфире озвучил саркастические комментарии в адрес руководства канала относительно назначения Леонида Парфёнова главным редактором «Русского Newsweek».
С января по сентябрь 2005 года - ведущий программы «Сегодня 22:00». С осени 2005 года под формат «Страны и мира» были адаптированы и другие вечерние выпуски новостей НТВ.
С сентября 2005 по октябрь 2013 года - ведущий вечерних выпусков программы «Сегодня». С сентября 2006 по октябрь 2013 года - ведущий программы «Сегодня» в 19:00.
С мая 2007 по октябрь 2011 года единолично вёл второй вечерний выпуск «Сегодня» в 22:45. С 2011 по 2013 год также был одним из ведущих программы «Сегодня. Итоги». Вёл несколько экстренных выпусков программы «Сегодня» в дни парламентских и президентских выборов 2007, 2008 и 2012 годов.
Параллельно с ведением информационных программ, в 2006 - 2011 годах был ведущим программы «Авиаторы» на НТВ.
С апреля 2008 по октябрь 2013 года также занимал пост руководителя вечерних информационных программ НТВ.
В 2010 - 2011 годах - ведущий программы о самых богатых людях России под названием «Капитал.ру». В апреле и декабре 2012 года Пивоваров принял участие в двух «Разговорах с Дмитрием Медведевым» как журналист НТВ.
Пивоваров работал с 5 ноября 2013 года продюсером и менеджером на СТС Медиа. В феврале 2014 года возглавил департамент трансмедийных проектов в той же компании.
В период с 7 июня по 2 августа 2015 года являлся одним из ведущих телепроекта «Парк» на «Первом канале» с Ириной Муромцевой и Николаем Фоменко.
В марте 2016 года покинул холдинг СТС Медиа - за весь свой период работы в качестве руководителя digital-направления компании Пивоваров, по его словам, «сделал всё, что мог сделать». В настоящее время в качестве независимого продюсера работает над документальными фильмами и телепроектами для разных телеканалов России, в том числе и для НТВ.
В сентябре 2016 года стал генеральным продюсером телеканала RTVi.