Михаил Побызаков родился 18 мая 1980 года в селе Пуланколь, Республика Хакасия. В 2001 году, окончил Хакасский государственный университет имени Катанова по специальности «Юриспруденция». Позднее, получил дополнительное образование, успешно завершив курс обучения в Сибирской академии государственной службы по специальности «Финансы и кредит».
Трудовую деятельность, Побызаков начал непосредственно по окончании ВУЗа, с должности юриста Открытого Акционерного Общества «Аскизавтотранс».
С 2002 года, работал в качестве заместителя генерального директора по правовым вопросам.
В 2003 году, приступил к работе в администрации Аскизского района, где занял должность начальника юридического отдела. Затем, замещал должности заместителя главы по социальным вопросам и первого заместителя главы Аскизского района.
Далее, в 2009 году, опытный управленец избран главой Аскизского района.
С 2014 по 2015 год, руководил Территориальной избирательной комиссией Аскизского района, а с 2015 года, работал советником, полномочным представителем Главы Республики Хакасия - Председателя Правительства Республики Хакасия.
Впоследствии, 13 июня 2017 года, Побызаков Михаил Анатольевич назначен на должность Министра национальной и территориальной политики Республики Хакасия.
Действительный государственный советник Республики Хакасия 3 класса.
Женат. Имеет двоих детей.