Андрей Подъелышев родился 1 июля 1962 года. В 1984 году, успешно окончил факультет Международных экономических отношений Московского Государственного Института Международных Отношений. К дипломатической работе приступил непосредственно по окончании обучения в вышеуказанном образовательном учреждении.
Начиная с 1984 года, Подъелышев работал на различных должностях в центральном аппарате Министерства Иностранных Дел СССР, а позже - России и за рубежом.
С 2001 по 2004 год, дипломат являлся консулом-советником Генерального консульства России в Сан-Франциско, Соединенные Штаты Америки.
Далее, с 2005 года, замещал должность заместителя директора Консульского департамента Министерства Иностранных Дел Российской Федерации.
В 2015 году, Подъелышев Андрей Леонидович назначен на должность Генерального консула Российской Федерации в Стамбуле, Турецкая Республика.
Указом Президента Российской Федерации от 1 октября 2019 года, Подъелышеву присвоен очередной дипломатический ранг «Чрезвычайный и полномочный посланник 1 класса».
Отмечен государственными наградами и знаками отличия.