Антон Понкрашов родился 23 апреля 1986 года в городе Санкт-Петербург. В детстве занимался плаванием, но, в возрасте семи лет, после того как его тренер надолго попал в больницу, он перешел в баскетбол. Антон окончил Училище олимпийского резерва № 1, а также тренировался в Адмиралтейской СДЮШОР вместе с Тимофеем Мозговым.

Имеет высшее образование - окончил Национальный государственный университет физической культуры, спорта и здоровья имени Лесгафта. С 2001 года по 2004 год играл за петербургские команды «Пулково» и «Конти», последний клуб выступал в Суперлиге Б.В 2004 году подписал контракт с профессиональным баскетбольным клубом «Спартак». В апреле 2005 года Понкрашов получил травму, и ему потребовалась госпитализация, в ходе которой ему прооперировали стопу. Процесс восстановления занял две недели, но оказалось, что диагноз был поставлен неверно, поэтому пришлось оперировать вновь, после чего Антон восстанавливался в течение месяца.

По итогам сезона 2004/2005 Понкрашов был признан лучшим молодым игроком чемпионата России. Во время проведения чемпионата Европы в Сербии и Черногории Понкрашов вместе с другими молодыми игроками сборной Виталием Фридзоном и Андреем Ивановым провел мастер-класс в школе посольства РФ в Белграде. «Спартак» занял последнее место в сезоне 2005/2006, одержав всего 4 победы в 24 матчах. У клуба начались проблемы с финансированием, а Антон получил предложение сменить последнюю команду чемпионата на первую: он перешел в ЦСКА. В августе 2013 года Понкрашов пополнил состав самарских «Красных Крыльев». В феврале 2014 года перешел в краснодарский «Локомотив-Кубань».

В 2008 году 5 июня Понкрашов принял участие в преддрафтовом лагере НБА в Тревизо, на котором скауты клубов НБА просматривают молодых игроков из Европы. По ходу проведения лагеря Антон был приглашен на персональные тренировки «Хьюстон Рокетс» и «Сиэтл Суперсоникс». Он не смог принять участие из-за проблем с визой в финальном тренировочном лагере НБА, который проходил в США. Несмотря на это, Понкрашов имел положительные отзывы и планировалось, что он будет выбран в конце первого или во втором раунде драфта. Но ни один из клубов не выбрал Антона на драфте НБА 2008 года.

Понкрашов начал новый сезон в «Химках»; он не демонстрировал баскетбола высокого уровня на старте чемпионата России, за что подвергался критике со стороны главного тренера Кемзуры. В ноябре 2008 года появились слухи, что из-за травмы Джона Роберта Холдена ЦСКА может вернуть Понкрашова из аренды, но вскоре это было опровергнуто руководством клуба. В декабре 2008 года Министерство обороны запретило Понкрашову, а также Алексею Шведу и Андрею Воронцевичу выступать за свои команды, так как они являются рядовыми срочной службы. После пропуска нескольких игр ситуация разрешилась, и молодые баскетболисты вновь смогли выступать за свои команды.

Февраль 2011 года был очень продуктивным для Понкрашова: сначала он набрал 16 очков в победном матче против ЦСКА, а затем 26 очков в игре против «Красных Крыльев». В том же году 16 марта Понкрашов помог «Спартаку» завоевать первый Кубок России в своей истории, в финале был побежден «Нижний Новгород». По итогам голосования болельщиков Понкрашов был выбран для участия в Матче всех звезд ПБЛ: он получил 2221 голос и вышел на площадку в составе сборной россиян. По ходу матча он сделал дабл-дабл, набрав 12 очков и 14 передач.

Также Антон принял участие в Spalding Конкурсе трехочковых бросков: в первом раунде он победил Евгения Воронова, а в полуфинале уступил будущему победителю соревнования Траджану Лэнгдону. В конце сезона Понкрашов воспользовался опцией расторжения контракта с клубом и перешел в ЦСКА. Антон объяснял, что хотел заключить долгосрочный контракт с «Спартаком», но руководство клуба не пошло ему навстречу; после этого появилось предложение ЦСКА на 3 года, на которое Понкрашов ответил согласием. В 2011 году 2 июля ЦСКА официально объявил о заключении с Понкрашовым контракта по схеме 2+1.

Понкрашов начал выступления за сборную России в 2004 году, когда принял участие в чемпионате Европы среди юношей до 18 лет, который прошел в Испании. В 2005 году, в составе сборной России до 20 лет, Понкрашов выиграл золотые медали европейского первенства, которое прошло в подмосковном Чехове. Антон стал самым результативным игроком финальной игры против сборной Литвы, он набрал 13 очков, реализовав 3 трехочковых броска. Благодаря успешной игре за молодежную команду Понкрашов был вызван на сбор национальной сборной России, посвященный подготовке к чемпионату Европы 2005.

По итогам подготовительных турниров главный тренер команды Сергей Бабков включил молодого игрока в состав команды на предстоящий чемпионат. На неудачном чемпионате Антон был самым молодым игроком в команде и проводил мало времени на площадке, он принял участие всего в двух играх. После хорошего сезона в «Химках» Понкрашов был включен в окончательную заявку на чемпионат Европы 2007 года в Испании. Новым тренером сборной был назначен американский специалист Дэвид Блатт, он не выпускал Понкрашова в четвертьфинале и полуфинале турнира, но дал ему шанс в самом главном матче чемпионата.

В финальной игре против сборной Испании Антон набрал 8 очков и 3 передачи, выйдя на площадку со скамейки запасных. Россияне победили в напряженной концовке и впервые в своей истории стали чемпионами Европы. После торжественной встречи команды в аэропорту Домодедово, игроки и тренерский штаб были приглашены на прием в Дом правительства, на котором они получили поздравления от первого заместителя Председателя Правительства РФ Сергея Иванова.

Понкрашов входил в список из 21 кандидатов в сборную России на Олимпийских играх в Пекине. Но в последний момент был отчислен из сборной тренерским штабом во главе с Дэвидом Блаттом и не поехал на Олимпиаду. Специалисты отмечали, что Блатт не дал Понкрашову достаточно игрового времени, чтобы проявить себя на сборах команды.

Понкрашов был включен в заявку и на чемпионат мира 2010 года в Турции, за несколько часов до начала турнира один из ведущих американских спортивных порталов ESPN назвал Антона в числе ключевых игроков сборной России. В первом туре чемпионата против сборной Пуэрто-Рико Понкрашов сделал дабл-дабл, набрав 11 очков и 10 передач. В матче против сборной Китая россияне оформили победу и попали в плей-офф чемпионата, Понкрашов набрал 15 очков и 5 передач. В четвертьфинале сборная Россия уступила американцам - будущим победителям чемпионата.

Когда сборная России отправилась на чемпионат Европы 2011 года, в числе лучших игроков страны был и Понкрашов. Правда, свой лучший матч на турнире Понкрашов провел в игре против сборной Сербии, набрав всего 5 очков и 4 подбора. Тем не менее, партнеры по команде поддержали Антона и сборной удалось выиграть бронзовые медали чемпионата Европы.

Для участия в XXX летних Олимпийских играх сборной России предстояло пройти квалификацию, на которую был вызван Понкрашов. Россияне успешно прошли отборочные соревнования, победив во всех матчах. Антон проявил себя в принципиальной игре первого группового этапа олимпийского баскетбольного турнира против сборной Испании: он помог команде победить, сделав дабл-дабл - 14 очков и 10 передач. Понкрашов был одним из лучших в полуфинале турнира против испанцев, он набрал 10 очков и 4 подбора, сборная России уступила в напряженной борьбе. В матче за 3 место россияне обыграли сборную Аргентины и завоевали бронзовые медали Олимпиады.

В 2011 году Понкрашов начал благотворительную деятельность, направленную на улучшение жилищных условий воспитанников Великосельского детского дома, расположенного в одноименном селе Великое Ярославской области. В стенах учреждения проживает более 40 детей в возрасте от трех до шестнадцати лет. Антон начал с того, что пригласил детей на один из матчей Евролиги, который они посетили 17 ноября 2011 года, а в июне 2012 года был завершен ремонт компьютерного класса в детском доме. В мае 2012 года был официально зарегистрирован благотворительный фонд «Надежда на завтра», который взял шефство над Великосельским детским домом, Понкрашов входит в попечительский совет фонда. Кроме того, Антон регулярно принимает участие и в других социально значимых акциях.