Александр Поварницын родился 12 апреля 1994 года в городе Ижевск Удмуртской Республики. Отец Александра, в прошлом известный биатлонист Василий Поварницын, с трех лет приучал сына к спорту. В 5 лет помимо лыж Саша освоил коньки и мог бы стать подающим надежды хоккеистом. Но с 2005 года активно занялся биатлоном.
Первые успехи на мировой арене пришли к Александру в юношеском возрасте. В 2013 году на Чемпионате мира среди юниоров в австрийском городе Обертиллиах остановился в шаге от пьедестала почета, заняв четвертое место.
В 2014 году на Чемпионате Европы Поварницын стал победителем среди юниоров в гонке преследования и серебряным призером в смешанной эстафете. В том же году на Чемпионате Мира среди юниоров в городе Преск-Айл, США биатлонист завоевал медали всех достоинств.
В 2015 году в составе мужской эстафетной команды стал Чемпионом мира среди юниоров на Чемпионате в городе Раубич, Беларусь. Там же стал бронзовым призером в гонке преследования.
В своей дебютной гонке в Кубке Мира, 11 февраля 2016 года в городе Преск-Айл Александр занял 28 место. На следующий день в гонке преследования финишировал десятым. Российская команда в составе Волкова, Поварницына, Малышко и Цветкова стала четвертой.
В рамках седьмого этапа Кубка IBU в 2017 году по биатлону в финском городе Контиолахти прошла мужская спринтерская гонка на 10 км с двумя огневыми рубежами. Александр одержал победу в гонке, показав с чистой стрельбой результат 24 минуты 23.3 секунды.