Александр Поздняков родился в 1966 году. В 1990 году окончил Ленинградский технологический институт целлюлозно-бумажной промышленности. В 1997 году Поздняков успешно прошел обучение в Санкт-Петербургском государственном техническом университете растительных полимеров по специальности «менеджмент».
Позже работал старшим мастером картонно-бумажного цеха Астраханского производственного объединения. Возглавлял картонно-бумажный цех, цех гофротары, производственно-диспетчерский отдел. В 1999 году стал заместителем генерального директора по производству ОАО «Котласский ЦБК».
В 2003 году окончил Академию народного хозяйства при правительстве Российской Федерации. Вскоре был назначен главным управляющим директором ОАО «Котласский ЦБК».
С июля 2007 года Александра Позднякова назначили директором филиала ОАО «Группа «Илим» в городе Коряжма. Спустя три месяца он занял должность заместителя генерального директора, управляющего директора бизнес-единицы «Илим Запад».
В феврале 2014 года Поздняков назначен директором филиала в Братске. С января 2016 года является заместителем генерального директора по производству Группы «Илим».