Александр Прошкин родился 25 марта 1940 года в городе Санкт-Петербург. Вырос в семье художника Анатолия Прошкина. После школы до 1961 года учился на актерском факультете Санкт-Петербургского театрального института имени А.Н. Островского, курс Б.В. Зона. Затем до 1966 года выступал в труппе Санкт-Петербургского академического театра комедии имени Н.П. Акимова. Позднее окончил Высшие режиссерские курсы.
Много лет Александр Анатольевич работал в качестве режиссера в Главной редакции литературно-драматических программ Центрального телевидения, а затем в телеобъединении «Экран». В 1975 году снял один из первых телесериалов «Ольга Сергеевна» с Т.В. Дорониной в главной роли.
В 1981 году снял картину «Опасный возраст». Позднее на телеэкраны вышел историко-биографический сериал «Михайло Ломоносов», снятый на киностудии «Мосфильм». К идее создания жанра Жизнь Замечательных Людей, телефильмов о жизни выдающихся личностей России, режиссер вернулся в 1990 году, создавая телесериал «Николай Вавилов» о трагической судьбе гениального ученого-генетика.
Прошкин в 1999 году поставил фильм «Русский бунт» по повести А.С. Пушкина «Капитанская дочка». Картина участвовала в Основной программе Берлинского кинофестиваля, а также удостоена специального приза жюри фестиваля «Кинотавр» и Гран-при «Золото «Лістапада».
В 2005 году снял 11-серийный телесериал «Доктор Живаго», экранизацию одноименного романа Б.Л. Пастернака. Работа отмечена национальной кинопремией «Золотой орел», а также призом «Серебряный Витязь» за лучший телевизионный игровой фильм на кинофоруме «Золотой Витязь». Через три года Александр Прошкин экранизировал повесть В.Г. Распутина «Живи и помни». Картина получила множество кинопремий, в том числе: Гран-при Всероссийского Шукшинского кинофестиваля; призы имени В. Фрида, за лучшую режиссуру, «Серебряный Витязь» и Диплом фестиваля в конкурсе художественных фильмов.
В 2009 году вышла новая работа режиссера под названием «Чудо». Через два года закончил работу над экранизацией романа Ф.Н. Горенштейна «Искупление», в сентябре следующего года представил киноленту «Искупление», получившую приз Монреальского кинофестиваля за выдающийся художественный вклад. Фильм также отмечен наградами на кинофестивалях: «Амурская осень»; «Восток и Запад. Классика и авангард»; «Московская премьера» и других.
Александр Анатольевич в 2014 году избран Председателем жюри XXII кинофестиваля «Виват кино России». Через год выпустил две новый картины: «Охрана» и «Райские кущи», экранизацию пьесы А.В. Вампилова «Утиная охота». С 2014 по 2015 года руководил мастерской на факультете режиссуры Московского института телевидения и радиовещания «Останкино».
Прошкин является руководителем мастерской кинорежиссуры на Высших курсах кино и телевидения Всероссийского государственного института кинематографии имени С.А. Герасимова.
Воспитал сына, Андрея Прошкина, российского кинорежиссер и сценариста.
Прошкин удостоен звания «Народный артист России», приза «За духовность в культуре». Фильм режиссера «Холодное лето пятьдесят третьего…» награжден национальной кинопремией «Ника», Государственной премией России, Главноым призом на Всесоюзном кинофестивале, а также признан Лучшим фильмом года по опросу журнала «Советский экран». Картина «Трио» получила Специальный приз жюри за режиссуру на кинофестивале «Окно в Европу».