Александр Пушница родился 1 ноября 1949 года в деревне Кореново, Новосибирской области. После службы в армии переехал в город Омск. Работал инспектором уголовного розыска. В 1971 году выполнил норматив Мастера спорта.

В 1974 году Пушница стал чемпионом СССР, спустя некоторое время получил титул чемпиона мира. В 1977 году завоевал Кубок СССР и Кубок мира в Испании. Утвердился в титуле мирового чемпиона также в 1979 и 1983 годах и титуле победителя Кубка мира в 1977 и 1987 годах.

Получил высшее образование, окончив в 1987 году Омский государственный институт физической культуры. Александр принимал участие в соревнованиях среди ветеранов. В 1997 году в городе Париж стал чемпионом Европы среди ветеранов.

Является заместителем председателя Федерации самбо Омской области. Руководит бюджетным учреждением города Омск «Спортивный клуб А. М. Пушницы». С 2000 года в городе Омск проводится ежегодный открытый Всероссийский турнир по самбо на призы Пушницы.

Александр Михайлович носит звания Заслуженного мастера спорта Советского Союза, двухкратного чемпиона Европы, серебряного призёра первенства мира, девятикратного чемпиона СССР, трёхкратного чемпиона Спартакиады народов СССР, семикратного чемпиона России. Является самым титулованным советским самбистом.

Александр воспитал двух дочерей. Старшая дочь Мария пошла по стопам отца. Профессионально занимается спортивной аэробикой, участвовала в нескольких международных соревнованиях и многих чемпионатах России.

Награждён высшей динамовской наградой «За заслуги в развитии общества «Динамо»». Носит звание почетного гражданина города Омск и Омской области.