Артем Ребров родился 4 марта 1984 года в городе Москва. Начинал играть за молодежную команду «Динамо», но уже в 1997 году мог оказаться в «Сатурне». Однако подмосковная команда не смогла оформить Реброву отсрочку от армии, в связи с чем он поступил и окончил МГУПБ по специальности ветеринарный врач. Уже тогда у игрока были проблемы с крестообразными связками коленей. Перейдя в «Сатурн», долго не мог добраться до основного состава из-за постоянных проблем с коленями.

В 2006 году Ребров даже думал закончить карьеру футболиста, но после 3 месяцев вернулся в команду. В 2007 году выступал за курский «Авангард» на правах аренды, а в 2008 - на тех же условиях за «Томь». Дебютировал в составе «Томи» 27 сентября 2008 года, в матче 23 тура чемпионата России против ЦСКА в Москве. Вышел на замену на 42 минуте вместо удаленного Сергея Парейко. Дебютировал в составе «Сатурна» 29 мая 2009 года в матче 11 тура чемпионата России против «Амкара» в Перми. Свой второй матч за клуб провел 2 мая 2010 года, где получил красную карточку на 25 минуте за игру руками вне штрафной площади. В 2011 году 13 января перешел в «Шинник», где за полгода игры в качестве основного вратаря привлек к себе внимание «Спартака».

В 2011 году 23 августа по приглашению тренера вратарей московского «Спартака» Валерия Клейменова пополнил состав клуба. В своей новой команде в качестве игрового номера выбрал число 32. Дебют состоялся 21 сентября, когда в рамках 1/8 финала Кубка России москвичи на стадионе «Лужники» принимали нижегородскую «Волгу». В начале поединка ворота волжан поразил полузащитник «Спартака» Эйден Макгиди, и до концовки матча удавалось сохранить для своей команды счет 1:0. Однако на 86 минуте игры Ребров пропустил гол после удара Шоты Бибилова. В дополнительное время соперники больше голов не забили, и встреча перешла в серию послематчевых пенальти, в которой удачливее оказались гости - 6:5. В матче 37 тура заменил травмированного Андрея Диканя. В весенней части переходного чемпионата 2011/2012 сыграл 8 матчей, в которых пропустил 8 мячей. Уверенная, надежная игра резервного вратаря вкупе с его решительностью в конфликтных ситуациях и неизменной признательностью в адрес болельщиков сделали его одним из главных героев финального отрезка турнира.

В 2012 году 23 октября Артем Ребров дебютировал в Лиге чемпионов в домашнем матче против лиссабонской «Бенфики». Однако вскоре получил неприятную травму плеча, из-за которой сезон доиграть не смог. В марте 2013 года случился рецидив травмы передней крестообразной связки колена. Уже в сентябре вернулся к тренировкам в составе команды. Впервые в новом сезоне сыграл за «Спартак» в матче против петербургского «Зенита» 10 ноября 2013 года. После матча владелец «Спартака» Леонид Федун заявил, что «надеюсь, мы стали свидетелями рождения новой звезды - звезды Реброва».

Сезон 2014/2015 Артем начал в качестве основного вратаря и капитана «Спартака». Стал одним из героев гостевого матча 1 тура чемпионата против казанского «Рубина». В следующих матчах чемпионата Артем продолжал уверенно играть и заслужил вызов в сборную России.

В 2014 году 5 сентября  участвовал в матче открытия стадиона «Спартака». Клуб сыграл вничью с сербской командой «Црвена Звезда». Ребров в этом матче был включен в стартовый состав. В сентябре 2014 года продлил контракт со «Спартаком» до 2018 года.

В 2015 году признан вратарем года по версии журнала «Огонек». Сезон 2015/2016 «Спартак» начал с домашнего матча с «Уфой», в котором команда сыграла вничью 2:2. Однако в матчах с «Краснодаром», «Рубином» и «Крыльями Советов» отыграл «на ноль» и получил лестные оценки за матч.

Перед началом следующего сезона потерял капитанскую повязку, став вице-капитаном. Начал сезон основным вратарем клуба.

В 2012 году 31 октября Артем Ребров вошел в расширенный список сборной России на товарищеский матч с США, но в окончательную заявку, объявленную 7 ноября 2012 года, не попал. В 2014 году 19 августа  Артем Ребров вновь вошел в расширенный список сборной России на товарищеский матч с командой Азербайджана и официальную игру отборочного турнира Чемпионата Европы-2016 с Лихтенштейном. И через десять дней попал в окончательный список игроков для участия в вышеуказанных матчах. Дебютировал за сборную 17 ноября 2015 года, выйдя на замену в товарищеском матче против сборной Хорватии.