Эдуард Рябцев родился 29 ноября 1973 года в селе Верхнее-Мошево, Пермский край. С 1991 по 1996 год являлся курсантом Новосибирского высшего военного командного училища внутренних войск Министерства внутренних дел России. Позднее получил дополнительное образование на факультете внутренних войск Военного университета Министерства обороны РФ.
По окончании военного училища Рябцев назначен командиром взвода, затем заместителем командира мотострелковой роты по работе с личным составом полка оперативного назначения Северо-Кавказского округа внутренних войск МВД России. С 1998 по 1999 год являлся помощником начальника группы по работе с личным составом полка оперативного назначения дивизии оперативного назначения Северо-Кавказского округа внутренних войск МВД России.
Позднее Эдуард Рябцев стал заместителем командира по работе с личным составом роты аэродромно-технического обеспечения отдельной авиационной эскадрильи Сибирского округа внутренних войск МВД России. С 2000 по 2003 год являлся помощником командира по правовой работе отдельного батальона оперативного назначения отдельной бригады оперативного назначения Северо-Кавказского округа внутренних войск МВД России.
С 2005 по 2009 год Эдуард Валерьевич занимал пост заместителя командира по работе с личным составом отряда специального назначения Сибирского округа внутренних войск МВД России. Затем стал начальником отделения по работе с личным составом дивизии внутренних войск Сибирского регионального командования внутренних войск МВД России. С 2011 по 2014 год являлся заместителем командира отдельной бригады оперативного назначения Северо-Западного регионального командования внутренних войск МВД России по работе с личным составом.
Впоследствии Рябцев находился в должности начальника отдела по работе с личным составом управления Северо-Западного регионального командования внутренних войск МВД России. С 2016 года являлся начальником отдела по работе с личным составом управления Северо-Западного округа войск национальной гвардии Российской Федерации.
В 2018 году приказом Федеральной службы войск национальной гвардии Российской Федерации Рябцев Эдуард Валерьевич назначен на должность заместителя начальника Санкт-Петербургского военного института войск национальной гвардии по работе с личным составом.
Женат, воспитывает дочь и сына.