Олег Савченко родился 25 июня 1966 года в городе Санкт-Петербург. Высшее образование Савченко продолжил в Москве - в 1989 году окончил факультет «Вооружение летательных аппаратов» Московского авиационного института по специальности «Автоматические системы и приводы». Является кандидатом технических наук, позднее стал лауреатом Государственной премии за внедрение безотходного метода производства подшипниковых колец.
Еще в школьные годы Олега Савченко приметили харьковские тренеры по гандболу. К последним классам он уже выступал за молодежную сборную Украины. В институтские годы, переехав в Москву, продолжил играть, теперь уже за сборную МАИ. Получил звание мастера спорта по гандболу. В период с 1991 года по 1992 год выступал за один из гандбольных клубов Испании из города Сеута. Его партнеры по игре Александр Москаленко и Артем Зуев в дальнейшем стали его бизнес-партнерами.
С возвращением в Россию Олег Савченко занялся предпринимательством. Заложив квартиру, организовал поставки компьютеров из Сингапура. Затем Савченко начал поставлять лекарства из Испании. В 1995 году вместе с изобретателем безотходного метода производства подшипниковых колец ученым Гурами Дзанашвили учредил Московское научно-информационное агентство «Подшипник».
Затем через свою инвесткомпанию «Мате Оки» Савченко стал участвовать в сделках по купле-продаже акций, в том числе таких промышленных активов, как «Кузнецкие ферросплавы», «Домодедовские авиалинии», волгоградский «Химпром» и местный тракторный завод.
В 1997 году компания Олега Савченко выиграла конкурс на разработку золота на Майском месторождении на Чукотке. В 1998 году губернатор Чукотского АО Александр Назаров пригласил Савченко возглавить Фонд экономического развития Чукотского автономного округа, который занимался обеспечением региона продовольствием и нефтепродуктам. Там же на Чукотке Савченко познакомился с Романом Абрамовичем, ставшим новым губернатором. В 2003 году он по договоренности с Абрамовичем уступил свои 70 % в месторождении золотодобывающей компании Highland Gold бывшего члена совета директоров «Сибнефти» Ивана Кулакова.
Одновременно с проектами на Чукотке Олег Савченко собрал контрольный пакет акций Волжского подшипникового завода, в 1999 году возглавил совет директоров предприятия. В 2000 году был создан объединивший несколько крупных предприятий холдинг «Русская подшипниковая компания». В него вошли научно-техническое предприятие «Мета», работающее на базе Пензенского подшипникового завода, Московский и Волжский подшипниковые заводы и торговый дом «Подшипник» в городе Волжский. В дальнейшем холдинг получил название «Европейская подшипниковая корпорация». Позднее к ним присоединились Самарский, Саратовский заводы и Степногорский завод в Казахстане. На скупку предприятий ушло порядка 150 млн долларов, на модернизацию - еще около 75 млн. К 2008 году ЕПК занимала 47-55 % российского рынка подшипников. В начале 2008 года 50 % корпорации у Савченко и его партнера Александра Москаленко выкупили структуры Романа Абрамовича.
К 2017 году Олег Савченко и его партнеры Oлег Жизненко, Иван Тырышкин, Александр Москаленко получили контроль над 30 % российского рынка реестродержателей и владели двумя из трех крупнейших регистраторов: в 2015 на паритетных началах они выкупили у австралийцев российскую «Computershare», вернув ей прежнее название «Независимая регистраторская компания», в декабре 2016 года году выкупили «Р. O.С.Т.» у Millhouse.
В 2000 году Олег Савченко участвовал в выборах губернатора Волгоградской области, набрал 28,47 % голосов избирателей и уступил около 8 % Николаю Максюте. После Чукотки Савченко работал советником губернатора Ненецкого автономного округа Владимира Бутова и возглавлял созданный по инициативе губернатора Ненецкий трубопроводный консорциум.
В 2003 году Савченко по предложению центрального аппарата «Единой России» возглавил волгоградское отделение партии и местный избирательный список партии на выборах в Государственную думу IV созыва. Был избран в составе избирательного объединения партия «Единство» и «Отечество» - Единая Россия, входил в думский комитет по промышленности. Вторую попытку избраться в губернаторы Савченко предпринял в декабре 2004 года, но перед вторым туром снял свою кандидатуру.
В 2007 году был избран депутатом Государственной думы V созыва. Был членом комитета Госдумы по промышленности, строительству и наукоемким технологиям.
В 2011 году был избран депутатом Государственной думы VI созыва. Входил во фракцию «Единая Россия». Участвовал в комитете Госдумы по промышленности. В январе 2015 года вместе с депутатом Александром Сидякиным отправился в Антарктиду, запланировав подняться на пик Винсона и водрузить флаг России. Несмотря на крайне неблагоприятные погодные условия, депутаты установили российский флаг на самой высокой точке континента.
В 2016 года Савченко вышел из состава «Единой России», после того как по итогам праймериз «Единой России» не был включен в избирательные списки к выборам в Госдуму VII созыва. В июле он был включен в избирательные списки «Российской партии пенсионеров за справедливость», однако уже в конце месяца на внеочередном съезде партии в числе нескольких бывших депутатов и губернаторов был из списка исключен.