Саверио Костанцо родился 28 сентября 1975 года в городе Рим, Италия. Его отец - Маурицио Костанцо, работал журналистом и телеведущим, а мать - Фламиния Моранди, была журналисткой. Брат сценариста и режиссера Камилла Костанцо.
Его первой работой стал документальный фильм «Sala rossa» / «Красная комната», который был представлен в 2002 году в разделе DOC2002 на «Torino Film Festival» и получил почетную грамоту. Как режиссер и сценарист, Саверио дебютировал в 2004 году с военной драмой «Личное». Затем выпустил такие фильмы, как «В память обо мне», «Одиночество простых чисел», «Голодные сердца» и сериал «Пациенты».
В 2007 году его второй фильм «В память обо мне» был представлен на 57-м Берлинском кинофестивале. В 2010 году драма «Одиночество простых чисел» была номинирован на «Золотого Льва» на 67-м Венецианском международном кинофестивале. В 2014 году картина «Голодные сердца» получила право побороться за «Золотого Льва» на 71-м Венецианском международном кинофестивале.
Имеет двоих детей от первого брака с Сабриной Нобиле.