Иван Савицкий родился 6 марта 1992 года в городе Грозный, Чеченская Республика. С детсва занимался разными видами спорта: плаванием, катанием на лыжах, рукопашным боем, шахматами. Отец Ивана познакомился в Василием Алексеевичем Прилуцким и у мальчика появилась возможность заняться велоспортом. 

Рекордсменом Мира среди юниоров Иван стал в 2009 года. Тогда же на Чемпионате Мира среди юниоров занял первое место в командной гонке преследования и третье в индивидуальной гонке. На Чемпионате Европы с Константином Куперасовым, Виктором Манаковым и Матвеем Зубовым завоевал победу. В индивидуальной гонке стал серебряным призером.

С 2012 по 2013 года Савицкий выступал за команду «Газпром-РусВело». В 2012 году одержал победу на Чемпионате Европы. В следующем году Иван завоевал титул Чемпиона России на треке, выиграв в командной гонке преследования на четыре километра и бронзовую медаль на Чемпионате Европы.

За российскую профессиональную континентальную велокоманду «Вертолеты России» выступал в 2014 году. Тогда же подтвердил звание Чемпиона России среди юниоров в групповой гонке. В следующем году выступал на ежегодной шоссейной многодневной велогонке «Гран-при Сочи», «Гран-при Москвы», «Тур Сербии», «Тур озера Цинхай».

Савицкий выступает за команду «Газпром-РусВело». Рост спортсмена 182 сантиметра, вес 71 килограмм. Тренируется под руководством Заслуженного тренера России Александра Валентиновича Васина. Является мастером спорта международного класса.