Алексей Шалашов родился 15 сентября 1952 года в городе Вологда. В 1977 году окончил Московскую государственную консерваторию по классу скрипка, курс профессора Майи Глезаровой.
Во время обучения Алексей поступил на работу скрипачом в Большой симфонический оркестр Центрального телевидения и Всесоюзного радио, ныне - Большой Симфонический оркестр имени П.И. Чайковского, под руководством Владимира Федосеева.
С 1976 года работал концертмейстером скрипичной группы, затем был администратором, а в 1998 году стал директором Большого симфонического оркестра имени П.И. Чайковского. С 1991 года, параллельно с исполнительской деятельностью, начал заниматься музыкальным менеджментом. В 1997 году был удостоен почетного звания «Заслуженный артист России».
В 2002-2003 годах занимал должность первого заместителя генерального директора, а с 2003 года по 2008 год генерального директора Московской государственной академической филармонии. Параллельно в 2007 году становится президентом союза концертных организаций России. С того же 2007 года Заслуженный деятель искусств Российской Федерации.
С 25 июля 2008 Алексей Алексеевич занимает должность директора Департамента современного искусства и международных культурных связей Министерства культуры Российской Федерации. Пост в министерстве он совмещал с должностью председателя художественной коллегии. В 2008 году был награжден памятной медалью «Патриот России».
В 2012 году Алексей Шалашов уволился из министерства и 27 апреля назначением ведомства вновь возглавил крупнейшую концертную организацию России - Московскую государственную академическую филармонию, генеральным директором которой является до сих пор.
Как президент Союза концертных организаций России, Алексей Шалашов активно участвовал в разработке Концепции развития концертной деятельности в области академической музыки в РФ на период до 2025 года - документа, определяющего основополагающие принципы филармонической и концертной жизни на многие годы вперед. В составе группы разработчиков Концепции Шалашов был назван «Персоной 2015 года» и Лауреатом газеты «Музыкальное обозрение». Его деятельность по проведению проекта «Всероссийские филармонические сезоны» отмечена премией Правительства РФ.