Анна Щукина родилась в посёлке Балакирево Владимирской области. С семи лет тренировалась вместе с мальчишками у Юрия Сырцова, в 2001 году в составе балакиревского «Рубина» выиграла областные соревнования «Золотая шайба». В 15-летнем возрасте перебралась в Москву и начала тренироваться в клубе СКИФ под руководством Александра Вирясова.

В составе СКИФа, с 2006 года базирующегося в Нижнем Новгороде, Анна Щукина два раза выигрывала чемпионат России, в 2009 году завоевала золото Кубка европейских чемпионов. С 2011 года выступала за «Торнадо» из подмосковного Дмитрова, с которым трижды становилась чемпионкой России и три раза побеждала в Кубке европейских чемпионов. В сезоне-2015-2016 выступала за «Динамо Санкт-Петербург», в мае 2016 года перешла в уфимскую «Агидель».

В 2007 году Анна Щукина дебютировала в национальной сборной. Она была кандидатом в сборную для участия на Олимпиаде в Ванкувере, но незадолго до старта Игр в товарищеском матче получила тяжёлую травму - разрыв крестообразных связок колена.

В 2013 году в составе сборной выиграла бронзовую медаль чемпионата мира в Оттаве и серебряную награду на зимней Универсиаде в Тренто. В феврале 2014 года выступала за национальную команду на зимних Олимпийских в Сочи. Она сыграла во всех 6 матчах российской сборной, забросила 2 шайбы в ворота соперниц.

В феврале 2015 года Анна Щукина стала чемпионкой зимней Универсиады в Гранаде, в марте того же года выбрана капитаном сборной России. На чемпионате мира-2015 в Мальмё её команда заняла 4-е место, а спустя год на мировом первенстве в Камлупсе завоевала бронзу.