Александр Шокуров родился 17 ноября 1920 года в городе Барнаул Алтайского края. Рос в семье рабочего. Окончил 9 классов. Работал слесарем паровозного депо на станции «Тайга» Кемеровской области, учился в аэроклубе.
В Красной Армии с 1938 года. В 1940 году окончил Батайскую военную авиационную школу лётчиков. В боях Великой Отечественной войны с июня 1941 года. Член ВКП(б)/КПСС с 1943 года. Особо отличился летом и осенью 1944 года, в боях за освобождение Украины и Польши.
Заместитель командира эскадрильи 156-го гвардейского истребительного авиационного полка гвардии старший лейтенант Александр Шокуров к маю 1945 года совершил четыреста шестьдесят боевых вылетов, в пятидесяти восьми воздушных боях лично сбил восемнадцать вражеских самолётов.
Указом Президиума Верховного Совета СССР от 27 июня 1945 года за образцовое выполнение боевых заданий командования на фронте борьбы с немецко-фашистскими захватчиками и проявленные при этом мужество и героизм гвардии старшему лейтенанту Шокурову Александру Алексеевичу присвоено звание Героя Советского Союза с вручением ордена Ленина и медали «Золотая Звезда».
После войны Александр Шокуров продолжал службу в Войсках ПВО страны. В 1955 году он окончил Военно-воздушную академию. С декабря 1956 года полковник Шокуров проходил службу на Дальнем Востоке заместителем командира 368-го истребительного полка 29-й воздушной армии. С июня 1959 года был заместителем начальника оперативного отдела штаба Сахалинского корпуса ПВО. С 1971 года полковник Шокуров был уволен в запас.
Жил в городе Челябинск. До ухода на заслуженный отдых работал инженером гражданской обороны в автотранспортном предприятии. Скончался 19 июля 1994 года. Похоронен в Челябинске на Успенском кладбище.
Награждён орденом Ленина, двумя орденами Красного Знамени, орденом Александра Невского, двумя орденами Отечественной войны 1-й степени, двумя орденами Красной Звезды и медалями.
Имя Героя увековечено на Мемориале Славы в Барнауле. Биография Шокурова включена в Энциклопедии Алтайского края и города Челябинска.