Александр Шульгин родился 2 мая 1977 года в городе Ессентуки, Ставропольский край. Высшее образование получил в Ростовском государственном университете, по специальности менеджер.
Профессиональный путь Шульгина начался в 1997 году в российском представительстве компании «Coca-Cola». Работал в организации тринадцать лет на различных финансовых должностях. В 2007 году стал финансовым Директором компании «Coca-Cola Hellenic» в России.
С мая 2010 года занимал должность финансового Директора холдинга «Яндекс». В следующем году принимал непосредственное участие в подготовке первичного размещения акций компании на Нью-Йоркской бирже «NASDAQ».
В 2014 году 1 сентября Александра Александровича назначили Генеральным директором компании «Яндекс». В 2017 году пресс-служба холдинга «Яндекс» сообщила о его предстоящем уходе с поста Генерального директора.
Александр Шульгин женат. Воспитывает дочь.