Антон Швец родился 26 апреля 1993 года в городе Геническ, Украина. В детстве его семья переехала в Грузию, позже в Россию. В сентябре 2010 года, находился на просмотре в испанском футбольном «Сарагоса», однако не смог подписать контракт из-за своего возраста, после чего перешел в академию московского клуба «Спартак».

В 2011 году, Швец попал во вторую команду испанской «Сарагосы» и дебютировал в Сегунде. За два года в испанском клубе, провел 65 матчей, после чего получил возможность играть в основной команде. В марте 2013 года, футболист вызван в молодежную сборную Грузии. возрастом до 21 года, но отказался аргументируя это тем, что видит себя только в футболке сборной России.

В марте 2014 года Антон Швец, сыграл свой первый матч в профессиональном футболе выйдя на замену в конце матча против футбольного клуба Депортиво. В 2014 году, перешел в испанскую команду - «Вильярреал». За несколько лет в дубле провел 71 игру и забил четыре мяча.

Летом 2017 года, перед истечением контракта с «Вильярреалом», получил приглашение пройти просмотр в футбольный клуб «Ахмат» города Грозный, на предсезонных сборах в Австрии. Принял участие в нескольких товарищеских матчах, забил гол в ворота фк «Зальцбург». В июле подписал четырехлетний контракт с грозненским клубом «Ахмат», выбрав 23-й номер. Дебютировал в Российском первенстве, сыграв в гостевом матче 4-го тура против футбольного клуба «Уфа».

Является неоднократным чемпионом России. Входит в состав сборной России по футболу.