Анатолий Сидоров родился 2 июля 1958 в селе Сива, Пермского края. В 1975 году окончил Свердловское суворовское военное училище. Получил дополнительное образование в Московском высшем общевойсковом командном училище имени Верховного Совета РСФСР, которое успешно закончил в 1979 году.
После училища в течение пяти лет проходил службу командиром разведывательного взвода, командиром разведывательной роты и начальником штаба батальона в Одесском военном округе. С октября 1984 по декабрь 1986 года назначен начальником штаба батальона в Афганистане. С 1986 по 1988 год служил в должности командира батальона в Закавказском военном округе.
В 1991 году успешно завершил обечение в Военной академии имени М. В. Фрунзе, после чего в тение семи лет проходил службу заместителем командира, начальником штаба и командиром мотострелкового полка, начальником штаба 469-го гвардейского окружного учебного Тартусского центра Приволжско-Уральского военного округа.
В составе Ограниченного контингента Советских войск в Республике Афганистан Анатолий Алексеевич проходил службу начальником штаба батальона в 149-м гвардейском мотострелковом Ченстоховском полку 201-й мотострелковой Гатчинской дивизии. За доблесть, проявленную в при выполнении боевых задач награждён орденом Красной звезды.
В 1995 году принимал участие в наведении конституционного порядка в Чечне.
В 2000 году окончил Военную академию Генерального штаба Вооружённых сил РФ. После обучения проходил службу в Дальневосточном военном округе командиром мотострелковой дивизии в должности заместителя командующего и начальником штаба армии.
В 2006 году Сидоров назначен командующим 5-й общевойсковой армией. В 2008 году служил заместителем командующего войсками округа. В 2009 году назначен на должность начальника штаба, 1-го заместителя командующего войсками Дальневосточного военного округа.
Через год, в связи с военно-административной реформой в Вооружённых Силах и упразднением Дальневосточного военного округа, занял аналогичную должность в Восточном военном округе, на которой прослужил в течение двух лет.
В октябре 2012 года назначен начальником штаба, 1-м заместителем командующего войсками Западного военного округа, сменил на этом посту адмирала Н. Максимова.
Позже Сидоров возведен в должность временно исполняющего обязанности по должности командующего войсками Западного военного округа, в связи с назначением предыдущего командующего генерал-полковника Аркадия Бахина на должность 1-го заместителя Министра обороны РФ 9 ноября 2012 года.
Указом Президента РФ от 24 декабря 2012 года назначен командующим войсками Западного военного округа. 27 декабря, в Доме офицеров Западного военного округа в Санкт-Петербурге Анатолию Алексеевичу Сидорову, как новому командующему, вручили штандарт командующего войсками округа. Он получил его из рук своего предшественника, 1-го заместителя Министра обороны РФ, Аркадия Бахина.
Анатолию Сидорову 20 февраля 2013 года присвоено воинское звание генерал-полковника.
В сентябре главы государств ОДКБ единогласно предложили кандидатуру генерал-полковника Анатолия Сидорова на должность начальника Объединенного штаба организации Договора о коллективной безопасности. Указом Президента Российской Федерации от 10 ноября 2015 года Анатолий Алексеевич назначен начальником Объединенного штаба ОДКБ, приступил к исполнению обязанностей 23 ноября 2015 года.
Имеет множество почетных наград: орден «За военные заслуги»; орден Красной Звезды; медали СССР; медали РФ; 13 медалей Министерства обороны России; заслуженный военный специалист Российской Федерации; почётную грамоту Президента Российской Федерации. Является Кавалер Императорского Военного Ордена Святителя Николая Чудотворца.
Женат, имеет двух дочерей.