Анатолий Чабунин родился 28 февраля 1960 года в поселке Чаны, Новосибирская область. По окончании школы, юноша работал слесарем на заводе Электросигнал. В 1990 году успешно окончил Новосибирский институт народного хозяйства по специальности «финансы и кредит».
По окончании ВУЗа, Чабурин работал в финансовых организациях. В период с 2001 по 2004 год, занимал должность начальника бюджетно-финансового управления Министерства энергетики РФ. Являлся начальником финансово-экономического управления Федерального агентства по энергетике. В 2004 году, Анатолий Михайлович перешел на работу в Федеральное дорожное агентство, где занял должность начальника финансового управления.
Позднее, с 2005 года являлся заместителем руководителя агентства, а с 17 марта 2009 года - возглавил вышеуказанное ведомство. Так же, занимал пост Председателя Межправительственного совета дорожников. Входил в состав наблюдательного совета государственной компании «Российские автомобильные дороги» - «Автодор». Далее, 15 ноября 2012 года освобожден от должности руководителя Федерального дорожного агентства в связи с переходом на другую работу.
В период с 16 мая 2013 года по 27 сентября 2015 года, управленец занимал должность заместителя руководителя Федеральной службы финансово-бюджетного надзора. С 28 сентября 2015 года, Чабунин Анатолий Михайлович является Вице-президентом - директором ОАО «Российские железные дороги» по внутреннему контролю и аудиту.
Женат. Имеет двух детей.