Максим Соловьев родился 20 февраля 1979 года в городе Москва. Хоккеем начал заниматься в родном городе, в хоккейном команде «ЦСКА». Пырвым тренером молодого спортсмена являлся Борис Штанько.

В составе юниорской сборной России, Соловьев принимал участие в чемпионатах Европы среди юниоров 1996 и 1997 года. Профессиональную карьеру, Соловьев Максим начал в 1997 году, в составе все того же, родного,  московского хоккейного клуба «ЦСКА». В 1999 году, перешел в хоккейный клуб «Крылья Советов», а перед началом следующего сезона, являлся игроком хоккейного клуба «Металлург», города Новокузнецк.

В 2001 году, Соловьев подписал контракт с подмосковным хоккейным клубом «Витязь», где в течение трех лет являлся одним из самых результативных защитников. В 2004 году перешел в хоккейный клуб «МВД», в котором выступал вплоть до расформирования клуба в 2010 году.

Перед началом сезона 2010/2011 года, Максим Соловьев подписал контракт с хоккейным клубом КХЛ «Динамо», города Москва. Через год, продлил соглашение с клубом. В начале сезона 2017/2018 года, является защитником московского хоккейного клуба КХЛ «Динамо».