Дмитрий Страшнов родился 31 мая 1967 года в городе Москва. В 1991 году с отличием окончил Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана по специальности «Новые материалы и технологии».
В 1992-1994 годах Страшнов Дмитрий руководил собственным бизнесом в сфере графического дизайна, возглавляя собственную компанию «Дистрайд». В 1994 году возглавил российское подразделение компании Electrolux Home Appliances. В 1999 году получил степень MBA в бизнес-школе INSEAD, Франция.
В 2000 году был назначен генеральным директором Philips Consumer Electronics в России, а в 2005 году стал вице-президентом и вошел в состав совета директоров европейского подразделения Philips Consumer Electronics. В 2008 году Страшнов был назначен вице-президентом и генеральным директором нового объединенного подразделения Philips в России - Philips Consumer Lifestyle.
В апреле 2009 года Дмитрий Евгеньевич был назначен директором по операциям российской части европейского телекоммуникационного холдинга Tele2 - Tele2 Россия, в июле 2009 года занял пост президента и генерального директора Tele2 Россия, а также вошел в исполнительный совет директоров Tele2 AB. Покинул пост руководителя 31 декабря 2012 года.
С апреля 2013 года Страшнов Дмитрий Евгеньевич генеральный директор федерального государственного унитарного предприятия «Почта России». В январе 2016 года вошел в состав наблюдательного совета ПАО «Почта Банк».
По решению Министерства связи и массовых коммуникаций 30 июня 2017 года, освобождён от должности генерального директора ФГУП «Почта России».
В сентябре 2017 года Страшнов вошёл в состав директоров российского медиахолдинга «РБК».
С ноября 2017 года Дмитрий Страшнов является операционным директором группы «Еврохим», занимающейся производством минеральных удобрений. Он отвечает за оперативное управление глобальным бизнесом. Работает в Швейцарии.