Алексей Стульнев родился 12 декабря 1987 года в городе Павловск, Воронежская область. С детства увлекался спортом. Является подающим надежды спортсменом, представляющим Россию на различных Чемпионатах и Кубках Мира по зимним видам спорта.

С 2011 года входит в состав сборной команды России. В том же году стал в составе двойки серебряным призером Чемпионата России. 

На Чемпионате Мира 2013 года в городе Санкт-Мориц, Швейцария, Алексей Стульнев со своим партнёром Алексеем Воеводой произвели спуск на бобе экипажа Касьянова. В итоге оба экипажа получили дисквалификацию.

На этапах Кубка Мира лучшим результатом в сезоне 2014/2015 года стало 6 место. В 2015 году завоевал серебро на Чемпионате России. В следующем сезоне стал Чемпионом России, бронзовым призером национальных России.

В 2018 году примет участие в Олимпийских играх.

Спортсмен не всегда показывает блестящие результаты, ему есть к чему стремиться, чего еще достигать. Но основным его качеством всегда являлось упорство, без него Алексей не смог бы попасть в большой спорт. Сам Стульнев заявляет, что безумно любит бобслей, что пока есть возможность будет им заниматься, развивать себя, постоянно ставить перед собой все новые и более высокие планки, для того, чтобы достигать все новых высот в спорте. 

Выступает за Всероссийское физкультурно-спортивное общество «Динамо», Центр спортивной подготовки «Хлебниково» города Москва, Центр спортивной подготовки города Воронеж, Спортивную детско-юношескую школу Олимпийского резерва №5 города Воронеж.

Стульнев живет в городе Москва, по состоянию на начало 2018 года. Рост спортсмена 178 сантиметров; вес 96 килограммов. Выполнил норматив мастера спорта по бобслею. Тренируется под руководством Михаила Викторовича Михальченко, Олега Борисовича Сухорученко. Пилот сборной России по бобслею.

Женат на российской бобслеистке Ольге Стульневой, Федоровой.