Анатолий Тихомиров родился 7 мая 1956 года в городе Биробиджан, Еврейская Автономная Область. После школы в 1978 году окончил Хабаровский Государственный медицинский институт по специальности «врач-педиатр». Трудовую деятельность начал в 1979 году в клинической ординатуре Москвы. С 1982 года в течении шести лет работал врачом-педиатром в Октябрьском районе, затем главным врачом Амурзетской центральной районной больницы.
В 1988 году Анатолий Тихомиров стал заведующим отделом здравоохранения исполнительного комитета Биробиджанского городского Совета народных депутатов, затем назначен заместителем заведующего отделом здравоохранения областного Совета Еврейской автономной области.
Далее, в 1993 году стал исполнительным директором областного фонда обязательного медицинского страхования. В 1999 году Анатолий Федорович окончил Современный гуманитарный институт по специальности «экономика и права». Также имеет диплом Владивостокского государственного медицинского университета. Позднее с отличием окончил курсы Института повышения квалификации государственных служащих.
В октябре 2001 года Анатолий Тихомиров избран депутатом Законодательного собрания Еврейской АО. Через месяц занял кресло председателя Законодательного собрания Еврейской АО. С 18 октября 2006 года избран Председателем Законодательного Собрания ЕАО IV созыва.
На выборах 18 сентября 2016 года Тихомиров Анатолий Федорович избран Депутатом Государственной Думы VII созыва от избирательного округа 0220, Еврейский - Еврейская автономная область. Член фракции «Единая Россия». Член комитета ГД по региональной политике и проблемам Севера и Дальнего Востока. Дата начала полномочий: 5 октября 2016 года.
Женат, имеет троих детей.
Заслуженный врач Российской Федерации (1997)
Орден Почета (2004)
Знак отличия Министерства Российской Федерации по развитию Дальнего Востока «За заслуги в развитии Дальнего Востока» (2013)