Евгений Толстиков родился 9 февраля 1913 года в городе Тула. Окончив школу, начал работать сначала слесарем-мотористом на «Тулканалстрое», затем, с 1930 по 1932 года, трудился токарем на Тульском оружейном заводе.

В Московском гидрометеорологическом институте Толстиков учился с 1932 по 1937. После ВУЗа получил распределение старшим синоптиком Бюро погоды на полярной станции «Мыс Шмидта». Во время работы принимал активное участие в научно-оперативном обеспечении плавания судов по Северному морскому пути.

Как и многие гидрометеорологи, в годы Великой Отечественной войны занимался обеспечением судов на Северном морском пути, продолжая работать в Арктике. Возглавлял метеорологическое обеспечение полетов авиации на одном из участков трассы Аляска-Красноярск, где перегонялись самолеты.

Материалы наблюдений за атмосферными процессами в восточном секторе Арктики положил в основу своей диссертацию. Успешно защитил ее на соискание ученой степени кандидата геологических наук в 1946 году, затем устроился в Арктический институт. Впоследствии защитил докторскую диссертацию.

Принимал участие в качестве метеоролога с 1948 по 1949 года в работе воздушных высокоширотных экспедиций «Север-2» и «Север-4».

В 1951 году Евгения Ивановича перевели на работу в Административный аппарат Главного управления Северного морского пути. Через два года стал Начальником Управления полярных станций и научных учреждений.

Коллектив первой смены полярников четвертой дрейфующей станции «Северный полюс-4» возглавил в 1954 году. Руководил многими антарктическими экспедициями, участвовал в походе к Полюсу недоступности.

С 1958 года Толстиков руководил третьей Советской Антарктической экспедицией, проводившей исследования в рамках Международного геофизического года. В том же году, 14 декабря, основал временную станцию «Полюс недоступности». Под его руководством построили научно-исследовательские суда: «Профессор Визе», «Профессор Зубов», «Академик Ширшов», «Академик Королев», «Эрнст Кренкель», «Виктор Буйницкий», «Виктор Бугаев», «Муссон», «Пассат» и другие. 

Коллективом Арктического и Антарктического научно-исследовательского института под редакцией Евгения Толстикова подготовили два тома «Атласы Антарктики» в конце 1960-х годов. 

Главным редактором журнала «Метеорология и гидрология» стал в 1974 году. Автор более 100 научных трудов и нескольких научно-популярных книг. Возглавлял делегацию страны на консультативных совещаниях. 

Толстиков Евгений Иванович скончался 3 декабря 1987 года. Похоронен на Новодевичьем кладбище города Москва.

За выдающиеся заслуги в деле изучения и освоения Арктики полярника наградили тремя орденами Ленина, медалью «Золотая Звезда» Героя Советского Союза, орденом Трудового Красного Знамени, Красной Звезды и орденом «Знак Почета».

Чехословацкий астроном Антонин Мркос открыл и назвал в честь Е. И. Толстикова малую планету 3357 Tolstikov.