Анатолий Толстобров родился 6 декабря 1966 года в деревне Старостино, Горьковская область. В 1984 году призвался на службу в Вооруженные Силы СССР. В 1988 году окончил Горьковское высшее военное строительное командное училище по профессии инженер по эксплуатации и строительству зданий и сооружений. С 1991 по 2010 год служил в Вооруженных Силах РФ.
С 2010 года в течении двух лет являлся доцентом кафедры Гуманитарных и социально-экономических дисциплин Нижегородскго высшего военно-инженерного командного училища. В 2012 году занимает пост начальника участка по установке ГБО в ООО «Газэнергосети - Нижний Новгород». В 2014 году Анатолий Геннадьевич назначен заместителем главы управы по вопросам экономики, потребительского рынка и услуг управы района Фили-Давыдково города Москвы.
С конца 2014 года Анатолий Толстобров занял должность заместителя главы управы по вопросам жилищно-коммунального хозяйства и благоустройства управы района Фили-Давыдково города Москвы.
Анатолий Геннадьевич курирует вопросы жилищно-коммунального хозяйства и благоустройства района. Координирует деятельности отдела по вопросам жилищно коммунального хозяйства и благоустройства, ГБУ «Жилищник района Фили-Давыдково». Организовывает работы управляющих организаций, находящихся в ведении управы района.