Денис Царгуш родился 1 сентября 1987 года в городе Гудаута, Грузия. Является абхазом по национальности, мусульманином по вероисповеданию. На одном из юношеских турниров Дениса заметил тренерский состав ЦСКА, после чего спортсмен получил предложение тренироваться в клубе, которое без раздумий принял. На тот момент имел в своем активе титул чемпиона мира среди юниоров, две победы в Кубке мира и на чемпионате России.
В 2009 году дебютировал на взрослом чемпионате мира в Хернинге, где также добился победы и завоевал титул первого чемпиона мира по вольной борьбе из Абхазии.
В 2010 году Царгуш в третий раз в карьере выиграл чемпионат России. Затем вошел в состав сборной России на чемпионат Европы в городе Баку, Азербайджан, где впервые завоевал титул чемпиона Европы. На чемпионате мира по борьбе в Москве защитил титул чемпиона мира в весовой категории до 74 кг, победив в финале иранца Садеха Саеда Гударзи. Медаль Дениса оказалась для России юбилейной, сотой золотой медалью, выигранной российскими борцами.
Спортсмену присвоено звание Заслуженный мастер спорта России 2 августа 2010 года.
На Олимпийских играх 2012 года в городе Лондон, Великобритания, Денис Царгуш завоевал бронзовую медаль в весовой категории до 74 кг. В борьбе за выход в финал уступил своему старому знакомому, американцу Джордану Барроузу за 10 секунд до финального свистка. В поединке за третье место Царгуш победил канадца Мэтью Джентри. В полуфинале чемпионата мира 2014 года взял реванш у Джордана Барроуза, выиграв уверенно 9-2.
На чемпионате России 2016 года боролся в категории до 74 кг и дошёл до финала, где уступил Аниуару Гедуеву. Тем самым лишил себя права борьбы за место в олимпийской сборной России по вольной борьбе.
Денис Царгуш имеет ряд почетных наград: медаль ордена «За заслуги перед Отечеством» II степени за большой вклад в развитие физической культуры и спорта, высокие спортивные достижения на Играх XXX Олимпиады 2012 года; Почётная грамота Президента Российской Федерации за высокие спортивные достижения на XXVII Всемирной летней универсиаде 2013 года в городе Казани; орден Республики Абхазия «Честь и слава» II степени за выдающиеся спортивные достижения, за пропаганду физической культуры и спорта.