Алексей Цибарков родился 17 августа 1978 года в городе Ульяновск. В 1995 году, окончил Ульяновский авиационный лицей по специальности «электромонтер». Трудовую деятельность начал непосредственно по окончании обучения в лицее, с должности электромонтера по ремонту и обслуживанию оборудования на промышленных предприятиях Ульяновской области.
Позднее, в 2002 году, завершил обучение в инновационном Центре по специализации «менеджер по маркетингу и сбыту продукции», после чего перешел работать в сферу продаж.
Начиная с 2011 года, замещал должность директора мебельного производства.
В 2012 году, опытный управленец завершил обучение в Ульяновской государственной сельскохозяйственной академии имени Столыпина по специальности «ученый агроном - эколог».
Далее, приступил к работе в качестве индивидуального предпринимателя.
Параллельно с трудовой и общественной деятельностью, Цибарков Алексей Александрович принимает активное участие в политической жизни родного региона. С 9 сентября 2018 года, является депутатом Законодательного Собрания Ульяновской области по областному избирательному округу от политической партии «ЛДПР».
Член комитета по аграрной и продовольственной политике, природопользованию и охране окружающей среды. Входит в состав комитета по жилищной политике и коммунальному хозяйству.
Женат. Воспитывает двоих детей.