Григорий Угрюмов родился 11 мая (30 апреля по старому стилю) 1764 года в Москве.
Родился в Москве в семье купца-жестянщика родом из села Норского Ярославской губернии Ивана Михайловича Угрюмова, депутата Комиссии по составлению проекта Нового Уложения. Крещён в сохранившейся до сих пор Успенской (Пятницкой) церкви, в которой была сохранена плащаница его работы.
В 1770 году был принят в Воспитательное училище при Императорской Академии художеств. Главным его наставником был художник-живописец Д. Г. Левицкий. По окончании академического курса в 1785 году с малой золотой медалью, полученной за картину «Изгнанная Агарь с малолетним сыном Измаилом в пустыне», Угрюмов в 1787 году за казённый счёт отправляется за границу для совершенствования мастерства живописца. Пробыв четыре года в Риме, где изображал античные статуи, Веронезе и Гвидо Рени, он вернулся в Санкт-Петербург в 1790 году. В следующем году ему было поручено преподавание исторической живописи в Академии.
Получил звание «назначенного в академики» (1797 г.). Звание академика получил в 1797 году за картину «Испытание силы Яна Усмаря».
Вскоре после того возведён в адъюнкт-профессоры, состоял им до 1800 года, позже был повышен в профессоры. С 1800 года стал заседать в совете Академии. Наконец, в 1820 году был сделан ректором исторической живописи. Почётный член Вольного общества любителей словесности, наук и художеств.
В продолжение своей деятельности пользовался в России громкой известностью и благоволением императрицы Екатерины II и императоров Павла I и Александра I. По их заказам исполнял часто большие и многосложные картины для важнейших из строившихся тогда зданий, таких, как: Троицкий собор Александро-Невской лавры, Михайловский замок и Казанский собор в Санкт-Петербурге, собор в Одессе и прочие.
Особого внимания заслуживают две большие его картины: «Взятие Казани 2 октября 1552 года войсками Ивана Грозного» (1797-1799 гг.) и «Призвание Михаила Федоровича Романова на царство 14 марта 1613 года» (не позднее 1800 г.), написанные для Михайловского замка, а также «Торжественный въезд Александра Невского в город Псков» (1793 г). Кроме того, можно указать на образы его работы в Казанском соборе («Святой Зосима и Савватий», два архангела на южной и северной дверях иконостаса) и церквах лейб-гвардий Финляндского полка и бывшего Московского полка. Угрюмов искусно писал портреты, каковы, например, портреты купца И. В. Водовозова (отца писателя В. И. Водовозова) и доктора И. К. Каменецкого.
Как преподаватель, он имел большое влияние на успехи русской живописи, дав образование многим замечательным художникам, в том числе А. Иванову, Д. Иванову, В. Шебуеву, А. Егорову, О. Кипренскому и другим.
Скончался 28 марта (16 марта по старому стилю) в Санкт-Петербурге. Был похоронен на Смоленском кладбище.